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LE
´ ` THEOREME
DES
NOMBRES
ELIMANE
BA
ET
PREMIERS
MICHEL
VU
RAIBAUT
PAR
KAHANE
2 ELIMANE BA ET MICHEL RAIBAUT 1.tcudnoiIortn SoitPmbsedeleenleisrrpmerbsensmond´eeelorxr´.Pou:tinπ(x) := #{pP|px} π(xonederbmerpsreimteenncdonolerembspr´´ece)drantx. epres HadamardetdelaVall´ee-Poussinen1896onte´tabliinde´pendammentcet ´equivalent: π(x)lxxg x+o Leurpreuvereposesurlesproprie´t´esdelafonctionζiemann,ddeReine´ pourRe(s)>1 par ζ(s) =P1s. n n=1 ParsonexpressionenproduitEul´erienquilalieauxnombrespremiers ζ(s) =pΠP(1p1s)1 la fonctionζueuojesedmbnos.reusNonrˆolecentralent´hoeiraeanylituq tt´egalite´permetdeprouverqueζne s’annule pas sur le verrons que ce e demi-planRe(s)>tedraHdamadLe1.neitleedopnietssstrationlad´emon delaVall´eePoussinestquelafonctionζromonm´erphegnolorpeoc¸afedes sur un voisinage deRe(s)annulantesemˆplueelosent1aetdmnttaom1c pas sur la droiteRe(s) = 1. HistoriquementRiemannestlepre´curseurdecettevisionanalytique:dans sonfameuxarticlede1859(cf[2])ilmetene´videnceunlienentrela distributiondesnombrespremiersetlesze´rosdelafonctionζ. Nous prouveronsenfaitqueletheore`medesnombrespremierseste´quivalenta`la ´ non annulation deζsurRe(s) = 1. N´eanmoinsilexistedespreuvesnutilisantpasdanalysecomplexe,comme celledErd¨osetSelberg...cf[4]. Auparavant,lare´partitiondesnombrespremierse´taitd´ej`aunprobl`eme ouvert.Euleravaitnotammentintroduitde´s1737larestrictiondelafonction ζ1]a`,+npneduroeit´eulte[enoserpxoissrlesnombresirnepuo´rteduei premiers.Le´quivalentdeπ(x)di-ecn´on´epacturssetrGausuf,edssnoejtuc, Legendre au cours du XVIIIeel.`ices En1852Tch´ebycheve´tablitpardesmoyens´ele´mentaireslencadrement suivant : liminfx/πlo(gx()x)1lixmspu/xolπ(gx()x) x→∞ Ainsi si le rapportπ(x)xgol(x)aitimelunneleele,eptueˆrtqeeu.1Lexistence delalimiteestdonclere´elprobl`eme.
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´ ` LE THEOREME DES NOMBRES PREMIERS VU PAR KAHANE Cem´emoireestlargementinspir´edelarticledeJean-BenoˆıtBost[0],etdes livrescit´esenbibliographie.Ilexistedenombreusesd´emonstrationsdu the´or`emedesnombrespremiers,maiscellequenousproposonsalliedeux domaines:lanalysecomplexe`atraversle´tudedeζet l’analyse harmonique pour la preuve. Lede´butsuitpasa`paslesch´emapropos´eparHadamardet delaValle´ePousi`asavoir:lanonannulationdeζsur Re(s)=1 et s n lintroductiondelaseriedeDirichletd´eniesurRe(s)>1 par ´ 1 ζP(s) =Xps. pP Cettefonctionseprolongeenunefonctionme´romorpheauvoisinagedela droiteRe(ssnitiiatiragole´tiralugta´eC1.enueiqhm)1=vacenuseni loccasiondinscrirecesr´esultatsdansune´etudedeΓetζ. Vers1930suiteadestravauxdanalyseharmoniqueconcernantlesthe´or`emes ` taub´eriensetleursg´ene´ralisation,Wienerobtintunenouvellepreuveutilisant l’analyse harmonique de la fonctiontζ(1 +it).Nouspr´esentonpalsvuere deKahaneinspir´eedeside´espr´ece´dentes(cfannexe).Nousnoussommes e´loign´esdelastructuredelarticledeJ-BBostandelarendreplus naturelle.Elleutliselatransform´eedeFourieretlathe´oriedesdistributions.