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Le théorème fondamental de une preuve réelle algébrique
l’algèbre rendu effectif : par les suites de Sturm
Michael Eisermann
Institut Fourier, Université Grenoble I wwwfourier.ujfgrenoble.fr/˜eiserm
23 janvier 2009
Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Augustin Louis Cauchy (1789–1857) CharlesFranc¸ ois Sturm (1803–1855) Séminaire de calcul formel et complexité, Université Rennes I
Plan
1
2
3
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Le théorème fondamental de l’algèbre
Sturm 1829/1835 : racines réelles de polynômes réels
Sturm 1836 : racines complexes de polynômes complexes
Conclusions et perspectives
Plan
1
2
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4
Le théorème fondamental de l’algèbre Le théorème et son histoire Racines réelles de polynômes réels Racines complexes de polynômes complexes
Sturm 1829/1835 : racines réelles de polynômes réels
Sturm 1836 : racines complexes de polynômes complexes
Conclusions et perspectives
Le théorème fondamental de l’algèbre
Théorème (version brève) Toutpolynômecomplexededegrénadmetnracines complexes.
Le théorème fondamental de l’algèbre
Théorème (version brève) Toutpolynômecomplexededegrénadmetnracines complexes.
Théorème (version longue) 2 SoitRle corps des nombres réels et soitC=R[i]i=1.
Le théorème fondamental de l’algèbre
Théorème (version brève) Toutpolynômecomplexededegrénadmetnracines complexes.
Théorème (version longue) 2 SoitRle corps des nombres réels et soitC=R[i]i=1. Alors pour tout polynôme n n1 F=Z+c1Z+∙ ∙ ∙+cn1Z+cn à coefficientsc1, . . . , cn1, cnC
Le théorème fondamental de l’algèbre
Théorème (version brève) Toutpolynômecomplexededegrénadmetnracines complexes.
Théorème (version longue) 2 SoitRle corps des nombres réels et soitC=R[i]i=1. Alors pour tout polynôme n n1 F=Z+c1Z+∙ ∙ ∙+cn1Z+cn à coefficientsc1, . . . , cn1, cnCil existez1, z2, . . . , znCtels que F= (Zz1)(Zz2)∙ ∙ ∙(Zzn).
Le théorème fondamental de l’algèbre
Théorème (version brève) Toutpolynômecomplexededegrénadmetnracines complexes.
Théorème (version longue) 2 SoitRle corps des nombres réels et soitC=R[i]i=1. Alors pour tout polynôme n n1 F=Z+c1Z+∙ ∙ ∙+cn1Z+cn à coefficientsc1, . . . , cn1, cnCil existez1, z2, . . . , znCtels que F= (Zz1)(Zz2)∙ ∙ ∙(Zzn).
Questions naturelles :
Le théorème fondamental de l’algèbre
Théorème (version brève) Toutpolynômecomplexededegrénadmetnracines complexes.
Théorème (version longue) 2 SoitRle corps des nombres réels et soitC=R[i]i=1. Alors pour tout polynôme n n1 F=Z+c1Z+∙ ∙ ∙+cn1Z+cn à coefficientsc1, . . . , cn1, cnCil existez1, z2, . . . , znCtels que F= (Zz1)(Zz2)∙ ∙ ∙(Zzn).
Questions naturelles : Existetil une démonstration élémentaire ? qui capte la géométrie ?
Le théorème fondamental de l’algèbre
Théorème (version brève) Toutpolynômecomplexededegrénadmetnracines complexes.
Théorème (version longue) 2 SoitRle corps des nombres réels et soitC=R[i]i=1. Alors pour tout polynôme n n1 F=Z+c1Z+∙ ∙ ∙+cn1Z+cn à coefficientsc1, . . . , cn1, cnCil existez1, z2, . . . , znCtels que F= (Zz1)(Zz2)∙ ∙ ∙(Zzn).
Questions naturelles : Existetil une démonstration élémentaire ? qui capte la géométrie ? Peuton affaiblir l’hypothèse ? à quels corps ordonnés au lieu deR?