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Maıtrise de mathematiques Statistique mathematique

3 pages
Mihai Gradinaru 1 Maıtrise de mathematiques 1998 Statistique mathematique 4. Estimateurs sans biais 4.1. Soit (Xi, i = 1, . . . , n) un n echantillon de loi N (µ, ?2). a) A l'aide de (T1, T2) = ( ∑n i=1 Xi, ∑n i=1 X 2 i ) construire un estimateur sans biais pour le couple (µ, ?2). b) Rappeler quelle est l'information de Fisher. L'estimateur est-il effi- cace? Existe-t-il un estimateur efficace? c) Si on s'interesse au risque quadratique pour ?2 seul, construire un meilleur estimateur de ?2. 4.2. Soient (?i, i = 1, . . . , n) un n echantillon de loi N (0, ?2) et (xi, i = 1, . . . , n) une suite de reels connus. On observe Yi = ?xi + ?i, i = 1, . . . , n. a) Calculer l'information de Fisher du modele. b) En s'inspirant de la droite de regression, proposer des estimateurs de ? et ?. Sont-ils sans biais? Efficaces? 4.3. Soient (T1, . . . , Tk), k estimateurs sans biais d'un parametre ?, avec cov(Ti, Tj) = ?ij .

  • x0 de loi ?

  • couple de loi nor- male d'esperance et de covariance

  • estimateur sans biais de ?

  • estimateurs sans biais

  • estimateur sans biais


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Mihai Gradinaru
Maıˆtrisedemathe´matiques1998 Statistiquemathe´matique 4. Estimateurssans biais
1
2 4.1.Soit (Xi, i= 1, . . . , n) unnedolihce´nollitnaN(µ, σ). P P n n 2 ` onst stimateur a) A l’aide de (T1, T2) = (Xi, Xi) cruire un e i=1i=1 2 sans biais pour le couple (µ, σ). b) Rappeler quelle est l’information de Fisher.L’estimateur est-il effi-cace? Existe-t-ilun estimateur efficace? 2 c)Sionsinte´resseaurisquequadratiquepourσseul, construire un 2 meilleur estimateur deσ.
2 4.2.Soient (εi, i= 1, . . . , n) unnantillon´echioledN(0, σ) et (xi, i= 1, . . . , nesun)ervenobsus.Oocnneesled´riuetYi=αxi+εi,i= 1, . . . , n. a)CalculerlinformationdeFisherdumode`le. b)Ensinspirantdeladroiteder´egression,proposerdesestimateursde αetβ. Sont-ilssans biais?Efficaces?
4.3.Soient (T1, . . . , Tk),kseiasbanssurtematiar`mteersidnuapθ, avec cov(Ti, Tj) =σij. a)Parmilescombinaisonslin´eairesdesTi, trouver l’estimateur sans biais de variance minimale. b) Siσij= 0 pouri6=j, quelle est cette variance minimale? c) Application:si on dispose dekeialldstentdaenepd´innslolitnahce´ 2 2 ni,i= 1, . . . , k, de loisN(µi, σ), proposer un estimateur sans biais deσ. Est-il efficace?
4.4.Pour estimer la proportionp, inconnue, d’un certain type de pois-sondansunlac,ond´ecidedepˆecherjusqu`aobtenirnpoissons de ce type. SoitNProposer un estimateur dele nombre total de prises.p. Montrerque l’estimateur (n1)/(N1) est sans biais.Est-il efficace?
4.5.Soit (Xi, i= 1, . . . , n) unn´indlnltoohiaeelcP(λ). a)CalculerlinformationdeFisherdumod`ele. b) Proposer un estimateur sans biais ”intuitif” deP(XeduiEnd´=0).er un estimateur sans biais de variance minimale. c) Cet estimateur est-il convergent?Efficace?
4.6.Soit (Xi, i= 1, . . . , n) unnanch´eram`depas2etrenoeditllmaamolgi et 1.
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