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Mihai Gradinaru
MaıˆtrisedeMath´ematiques2003-2004 Statistiques 6. Intervalles de confiance
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6.1.Soit (X1, . . . ,Xn) unnch´e-nollitnaPioledθ,θΘ. Trouver des fonctions pivotales et ensuitede´duiredesintervalles(oure´gions)deconancedecoecientdese´curite´1α[0,1] pourleparam`etreθ. a)Θ =Ret Pθ=N(θ,1) (loi normale avec variance connue); 2 b)Θ =Ret Pθ=N(0cevaelamnare´pseorinlo)(nnuececo); + 2 c)Θ =R× N(m,σ) (loi normale); R+et Pθ= d)Θ =R+et Pθ=E(θ) (loi exponentielle).
6.2.Soit (X1, . . . ,Xn) unnsumeorifunoielndollitnahce´-[r0],θΘ. Trouver une fonc-tion pivotale et ensuite indiquer un intervalle de confiance pourθ´ecurit´eeocedsedtneic 1α[0,1]. 6.3.Soit (X1, . . . ,Xn) unn´e-anchllitednoPiolθ,θΘ. Trouver des intervalles de confiance asymptotiques pourθe´1´scerutidentiecoeecdα[0,1]. a)Θ = [0,1] et Pθ=B(1) (loi de Bernoulli); b)Θ =R+et Pθ=P(θ) (loi de Poisson).    2 m1σ0 1 llon de loiN. 6.4.Soit ((X1,Y1), . . . ,(Xn,Yn)) unn-naite´hc2,2 m20σ 2 2 2 a)On suppose queσ=σ(inconnues) et on veut trouver un intervalles de confiance de 1 2 coecientdese´curit´e1α[0,tr`eepelrmara1uop]θ=m1m2. On pourra d’abord indiquer la loi de la fonction pivotale q   2 2 Tn(θ() =XY)θ /S+S . X Y b)esetiancsvar´edeurinuoevturtnoevncodeesllvaerntecnaneOnppsuge´tilapesolsul 2 2 decoecientdese´curit´e1α[0,erte1]pourleparam`τ=σ /σ. On pourra d’abord 1 2 indiquer la loi de la fonction pivotale 2 S 0,X Tn(τ) =τ . 2 S 0,Y 6.5.Soit (X1, . . . ,Xn) unndnoliolehaecilnt-´N(θ,1) (voir aussi l’exercice6.1.a). Montrer quelintervalleale´atoire[X1,X+ 1]contientθtecnouclaarelteC.e´uqlitibobaenrpvecua probabilit´ed´epend-t-elleden? Trouver ensuite le plus petitnpour garantir un intervalle de confiance pourθde longueur au plus 1/ueeqosppsuonSientdecideco49,.5´t0eucirsee´ 2 2 la loi estN(θ,σ), avecσinconnu, trouver le plus petitnpour garantir un intervalle de confiance pourθde longueur au plusσ/´sedtneie´tiruce.900,oec4dec 6.6.Soit (X1, . . . ,Xn) unnmrofruse0[-e´hcantillondeloiuni],θΘ et soitXn= max{X1, . . . ,Xn}(voir aussi l’exercice6.2). On veut construire deux types d’intervalles ale´atoirescontenantθ: [aXn,bXn], 16a < bet [Xn+c,Xn+d], 06c < d. Calculer