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Mihai Gradinaru
MaıˆtrisedeMath´ematiques2003-2004 Statistiques 8.Testsstatistiques:mod`eleline´aire,testsnon-parame´triques
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8.1.seavirbaboesvrletoireslneOsal´eaXi=β+γti+εi,i= 1, . . . , n,uo` 2 (ε1, . . . , εn) est unnahtn´-ceoindelilloN(0, σ) ett1, . . . , tntnossel´esrde 2 connus.Onveutestimerleparame`treθ= (β, γ, σ). ˆ a)Construire l’estimateur du maximum de vraisemblance pourθ= ∗ ∗d2,2 c c (σγ ,β ,) deθ= (β, γ, σ). c c ∗ ∗ b)Montrer queβetγsont sans biais et calculer leur variances. Trouver P 1n ccleurs lois. Montrer que sit= =0 alorsβetγsont non-n i=1 corr´el´ees. c)Construire le test de rapport de vraisemblance pourβ= 0 contreβ6= 0 de niveauα]0,1[. Construire le test de rapport de vraisemblance pourγ= 0 contreγ6= 0 de niveauα]0,1[. Application:n= 27 et α= 0,05. ´ d)Ecrire des intervalles de confiance pourβ, pourγde coefficients de se´curite´1α]0,rusteuir1[on.C(ruopecnioegr´neaonecndβ, γ) decoecientdes´ecurit´e1α]0,1[. Application:n= 27 etα= 0,05.
8.2.-ivsues´ennodselruoptnede´cedlxereicecrpe´uerlesr´esultatspAqilp antes : t15 20 25 305 10 x0,10 0,21 0,30 0,35 0,44 0,62 etα= 0,prusdi´eveouvoz-ruedP.50eralavelXent0= 17.
8.3.iaObnloebssaelrvelesvarse´taioerXi=β+γ(tit) +εi,i= 1, . . . , n, 2 ou`(ε1, . . . , εn) est unnanti´ech-iedolllnoN(0, σ),t1, . . . , tndentsoslee´rs P 1n connus ett0.= = n i=1 a)Construire le test de rapport de vraisemblance pourγ= 0 contreγ6= 0 de niveauα]0,1[. ´ b)Ecrire des intervalles de confiance pourγe´tis´deurecccoideetsen 1α]0,1[.
8.4.ussee´nnodselruotpenedc´´eprceciiv-edlxereseluatstuerlesr´Appliq antes : t3,80 3,72 3,67 3,60 3,54 x1,36 1,23 1,09 0,82 0,61