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Mise sous forme implicite de courbes et de surfaces paramétrages rationnels

8 pages
Mise sous forme implicite de courbes et de surfaces à paramétrages rationnels Enfin un texte ne demandant pas de programmation. L'exemple de la courbe On commence par traiter l'exemple simple de la courbe dont les deux équations paramétrées sont > EqParamx:=t^4-t+1-x; EqParamy:=t^3+t+1-y; := EqParamx ? + ?t4 t 1 x := EqParamy + + ?t3 t 1 y Par un calcul de résultant on élimine t . > EqImp:=resultant(EqParamx,EqParamy,t); := EqImp ? ? + + ? + ? + ?23 18 x 34 y 22 y2 13 x y 7 y3 5 x2 4 x y2 y4 x3 On obtient un polynôme en ,x y qui, lorsqu'il est nul, indique que les deux équations paramétrées ont une ou plusieurs solutions communes en t . Expliquer comment il peut y en avoir plusieurs. Cette équation implicite étant irréductible > factor(EqImp); ? ? + + ? + ? + ?23 18 x 34 y 22 y2 13 x y 7 y3 5 x2 4 x y2 y4 x3 il n'y a pas de terme parasite . Un remarque : pour le graphique le système paramétré est meilleur > plot([t^4-t+1,t^3+t+1,t=-2.

  • z2 y2

  • y2 x2

  • courbe

  • développement initial

  • équation implicite

  • eqparamx ?

  • carré venant de rxzt

  • équation sans le carré


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Mise sous forme implicite de courbes et de surfaces à
paramétrages rationnels
Enfin un texte ne demandant pas de programmation.
L’exemple de la courbe
On commence par traiter l’exemple simple de la courbe dont les deux équations paramétrées
sont
>
EqParamx:=t^4-t+1-x; EqParamy:=t^3+t+1-y;
:=
EqParamx
- +
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t
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x
:=
EqParamy
+ +
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y
Par un calcul de résultant on élimine
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.
>
EqImp:=resultant(EqParamx,EqParamy,t);
:=
EqImp
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x
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On obtient un polynôme en
,
x y
qui, lorsqu’il est nul, indique que les deux équations
paramétrées ont une ou plusieurs solutions communes en
t
.
Expliquer comment il peut y en avoir plusieurs.
Cette équation implicite étant irréductible
>
factor(EqImp);
-
-
+
+
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x y
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il n’y a pas de
terme parasite
.
Un remarque : pour le graphique le système paramétré est meilleur
>
plot([t^4-t+1,t^3+t+1,t=-2..2]);
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