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UniversitÉ Claude Bernard Lyon 1 - automne 2009 Licence Sciences, Technologies, Sant - mention mathmatiques
UE Math III Algbre - MAT2002L ————————
PLANCHE DEXERCICESIII - POLYNôME MINIMAL- THORèME DECAYLEY-HAMILTON-
F Exercice 1.Dterminer le polynÔme minimal des matrices suivantes, oÙa6=b:       a 0 0a 1 0a 1 0a 1 0a 0 0       0 a 0, 0a 1, 0a 0, 0a 0, 0b 0, 0 0 a0 0 a0 0 a0 0 b0 0 b       a 1 0 0a 1 0 0a 1 0 0a 1 0 0a 1 0 0 0 a 1 00 a 1 00 a 0 00 a 0 00 a 0 0     , , , , .       0 0 a 10 0 a 00 0 a 10 0 b 10 0 b 0 0 0 0 a0 0 0 a0 0 0 a0 0 0 b0 0 0 b F Exercice 2.SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnetuun endomorphisme nilpotent deE. 1. Sans utiliser le polynÔme minimal, montrer que le polynÔme caractristique deuest n n pu= (−1)X. Comment procder avec le polynÔme minimal ? 2. Par rcurrence, montrer qu’il existe une baseBdeEtelle que la matrice deudans la base Bsoit triangulaire suprieure avec des0sur la diagonale. 3. Inversement, montrer que tout endomorphisme deEdont la matrice dans une baseBde Eest triangulaire avec des0sur la diagonale est nilpotente d’indice de nilpotencep6n. F Exercice 3.SoitRn[X]leR-espace vectoriel form des polynÔmes de degr infrieur ou gal Àn. Soitu:Rn[X]Rn[X]l’application qui À un polynÔmePassocie le reste de la division 2 euclidienne dePparX1. 1. Montrer queuest linaire. 2 2. Calculeruet en dduire queuest diagonalisable. F Exercice 4.Trouver une condition ncessaire et suffisante pour que les matrices relles sui-vantes soient diagonalisables :   a b c1 a b   A=,0 a dB=0 1 c. 0 0 a0 0 d F Exercice 5. 1. SoitJune matrice complexe deMn(C)dfinie par   0 10 .. .0 . . 0 01.. . . . . .. .0 . . 0.1 1 0. . .0 p 1.1. CalculerJpour tout entierp{1, . . . , n}. 1.2. En dduire queJest diagonalisable. n1 1.3. Montrer que1n,J, . . . ,Jsont linairement indpendants.