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Nombres positifs, metriques et calculatrices parStephaneJunca IUFMetUniversitedeNice,
1 Introduction Depuisnotreenfanceonapprivoiseladroitenumeriqueavecladistanceeuclidienneetdonc lavaleurabsolue.Cependant,larepresentationscienti quedesnombresutiliseeparnoscalcu-latrices ne correspond pas du tout a la notion de distance euclidienne sur la droite reelle ! De ˆme, l ue l’on parle de nombredechi ressigni catifs exactsdansunresultatnumerique, me orsq onneparlepastoujoursdeprecisionenvaleurabsolue,maisdeprecison relative . En e et, dire quunresultatnumeriquenousfournitdeuxchi ressigni catifsnesigni epastoujoursquelon auneprecisionenvaleurabsoluede10  2 .Celasigni equelesdeuxpremierschi res(enpartant delagauche)achesparlacalculatricesontexacts,saufeventuellementledeuxiemeauneunite pres. Prenons trois exemples pour eclairer notre propos. a ' 123 . 456789 , b ' 123456789 , c ' 1 . 23456789  10  10 . Direquelonnaquedeuxchi ressigni catifsdecestroisnombressigni equilfautseulement retenir que : a ' 120 = 1 . 2  10 2 , b ' 1 . 2  10 8 , c ' 1 . 2  10  10 . Lesecartsenvaleurabsolueentrecesnombresetleursapproximationspeuventˆetretresgrands, ouextremementpetit,commepourledernierexemple.Enrevanche,commeonvalerappeler danslaprochainesection,lecartrelatifestdelordrede1%.Surcetexemple,onremarqueaussi unecertaineinvarianceduresultatparrapportauxmultiplicationspar10.Plusgeneralement, onverraquelesecartsrelatifssont invariant par changement d’echelles . Le but de cet article est d’associer des metriques acettenotiondeprecisionparlenombre dechi ressigni catifsobtenus.Commedansleslivresclassiques[2,5,6],onutiliseralesecarts relatifs. La nouveaute est d’associer a ces ecarts relatifs des metriques sur ]0 , + [ invariantes par changementdechelle.Onmontreraenparticulierquelametriquelogarithmiquesobtiendrade manieretresnaturellesousceshypotheses,quelleestmathematiquementlameilleuremetrique pourtraiterceproblemeetquellenousdonnedestheoremesprecissurlesaccroissements nis relatifs.Ceciesttresimportantpourlutilisateur.Ene et,ilveutsavoircombiendechi res signi catifsilpeutconserversilfaitdesoperationssursacalculatriceousonordinateur.Cette question naturelle correspond a l’etude des fonctions lipschitsiennes par rapport aux metriques relatives.Ilestbienconnuquelecoecientdampli cationdespetiteserreursrelativessob-tientalaidedeladeriveelogarithmique.Onverraquecelaestvraimˆemepourlesgrandes erreurs relatives. Cechangementdemetriquepeutmodi ernosnotionsusuellesdefonctionscontinues,uni-formementscontinuesoulipschitsiennessur]0 , + [ ou R . Dans cet article, nous sauverons la notiondecontinuiteusuelleentravaillanttoujourssur]0 , + [.Pourceuxquisontinterresses parladicileetdangeureusetraverseeduzeromachinenousleurproposonsdeleurenparler dans un prochain article.
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