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Normal forms with exponentially small remainder : application to 2+ homoclinic connections for the reversible 0 iωresonance
Formes normales avec reste exponentiellement petit : application 2+ auxorbiteshomoclinespourlare´sonance0iω´resiblever a b G.Iooss E.Lombardi a IUF,InstitutNonLine´airedeNice,UMR6618,1361Routesdeslucioles,06560Valbonne,France b InstitutFourier,UMR5582,Universit´edeGrenoble1,BP74,38402SaintMartindHe`rescedex2,France
Abstract
In this note we explain how the normal form theorem established in [2] for analytic vector fields with a semi simple linearization enables to prove the existence of homoclinic connections to exponentially small periodic orbits 2+ for reversible analytic vector fields admitting a 0 iωresonance where the linearization is precisely not semi simple. Re´sum´e Danscettenoteonexpliquecommentlethe´ore`medeformesnormalesavecresteexponentiellementpetitobtenu dans[2]pourleschampsdevecteursanalytiquesayantunlin´earis´esemisimplepeuteˆtreutilise´pourmontrer lexistencedorbiteshomoclinesa`dessolutionsp´eriodiquesexponentiellementpetitespourleschampsdevecteurs 2+ analytiques,r´eversiblesauvoisinageduner´esonanceOiωmentis´er´ecestp.emilpmesiapsso`sirane´lelue´ni
Versionfranc¸aiseabre´ge´e
Danscettenote,one´tudielesfamillesanalytiquesa`unparame`tredechampsdevecteursSrlessrbie´ev 4 dansR, du 4 =V(u, µ), uR, µ[µ0, µ0], µ0>0,etV(Su, µ) =SV(u, µ) dx 2 o`uSGL4(Ri0ellimafaledxetinpounsteeinutseysen)eulrogidepeulqsOnsupposm´etrie.ω r´esonant,cest`adirequeV(0, µ) = 0 forµ[µ0, µ0eselctpederedila]uqteorigine´reneitleela`l
Email addresses:Gerard.Iooss@inln.cnrs.fr(G.Iooss),Eric.Lombardi@ujfgrenoble.fr(E.Lombardi).
Preprint submitted to Elsevier Science
29 septembre 2004