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On the Mather Quotient

De
91 pages
On the Mather Quotient Ludovic Rifford Universite de Nice - Sophia Antipolis (Joint work with A. Fathi and A. Figalli) Ludovic Rifford On the Mather Quotient

  • tm ?

  • mather quotient

  • lipschitz function

  • universite de nice

  • smooth curves

  • legendre-fenchel duality


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Intro
Szeg¨ocubic
Lax pair
Solitons
M(1)
˜ M(1)
Surl´equationdeSzego¨cubique
Sandrine Grellier
Universite´ d’Orleans ´
en collaboration avec´.GPreradnUvireis(sud)t´eParis
Sandrine Grellier
Sur l’e´ quation de Szego¨ cubique
Intro pair LaxSzego¨ cubic Motivation
˜ SolitonsM(1)M(1)
Inuencedelag´eome´triesurlesproprie´te´squalitativesdes solutions de NLS
itu+ Δu=|u|2u,(t,x)R×M.
Re´ sultat ge´ ne´ ral (inde´ pendant de la ge´ ome´ trie) : Sileotestr´eguliersurHr(M), alors
keitΔfkL4([0,1]×M).kfkHr/2(M).
Burq-Ge´ rard-Tzvetkov :
Quasi-´equivalence
Sandrine Grellier
Sur l’e´ quation de Szego¨ cubique
IntroSzego¨ cubic pair Lax Motivation
˜ SolitonsM(1)M(1)
Inuencedelag´eome´triesurlespropri´et´esqualitativesdes solutions de NLS
itu+ Δu=|u|2u,(t,x)R×M.
R´esultatge´ne´ral(inde´pendantdelag´eom´etrie): Sileotestr´eguliersurHr(M), alors
keitΔfkL4([0,1]×M).kfkHr/2(M).
Burq-Gerard-Tzvetkov : ´
” Quasi-e´ quivalence”
Sandrine Grellier
Sur l’e´ quation de Szego¨ cubique
Intro pair LaxSzego¨ cubic Motivation
˜ SolitonsM(1)M(1)
Inuencedelag´eom´etriesurlespropri´et´esqualitativesdes solutions de NLS
itu+ Δu=|u|2u,(t,x)R×M.
Re´sultatge´ne´ral(ind´ependantdelageometrie): ´ ´ Sileotestr´eguliersurHr(M), alors
keitΔfkL4([0,1]×M).kfkHr/2(M).
Burq-Ge´ rard-Tzvetkov :
Quasi-´equivalence
Sandrine Grellier
Surl´equationdeSzeg¨ocubique
˜ IntroonsairSolitbuciaLpxSez¨gcoM(1)M(1) Cas du groupe de Heisenberg
Surle groupe de HeisenbergH1=Cz×Rs,Δle sous-laplacien.Pour les fonctions ”radiales” (R) ne de´ pendant que de(|z|,s),
L2(H1)∩ R=±
m=0Vm±,Δ|Vm±=±i(2m+1)s.
SifV±,eitΔf(z,s) =f(z,s(2m+1)t), donc m
keitΔfkL4([0,1]×H1)=kfkL4(H1) Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,
keitΔfkL4([0,1]×H1).kfkHr/2(H1)r2
(espacedeSobolevadapt´e`aH1) Pasdeotr´eguliersurlespad´rgie! ce ene
Sandrine Grellier
!
Surle´quationdeSzeg¨ocubique
˜ IntroLaxpairSolitonsSez¨gcobuciM(1)M(1) Cas du groupe de Heisenberg
Surle groupe de HeisenbergH1=Cz×Rs,Δle sous-laplacien.Pour les fonctions ”radiales” (R) ne de´ pendant que de(|z|,s),
L2(H1)∩ R=±
m=0Vm±,Δ|Vm±=±i(2m+1)s.
SifVm±,eitΔf(z,s) =f(z,s(2m+1)t), donc
keitΔfkL4([0,1]×H1)=kfkL4(H1) Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,
keitΔfkL4([0,1]×H1).kfkHr/2(H1)r2
(espacedeSobolevadapte´`aH1) Pas de flot re´ gulier sur l’espace d’e´ nergie !
Sandrine Grellier
!
Surle´quationdeSzeg¨ocubique
˜ IntrobicLaxpaSzeg¨ocusnrioSilotM(1)M(1) Cas du groupe de Heisenberg
Surle groupe de HeisenbergH1=Cz×Rs,Δle sous-laplacien.Pour les fonctions ”radiales” (R) ne de´ pendant que de(|z|,s),
L2(H1)∩ R=±
m=0Vm±,Δ|Vm±=±i(2m+1)s.
SifVm±,eitΔf(z,s) =f(z,s(2m+1)t), donc
keitΔfkL4([0,1]×H1)=kfkL4(H1) Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,
keitΔfkL4([0,1]×H1).kfkHr/2(H1)r2
(espacedeSobolevadapt´ea`H1) Pas de flot re´ gulier sur l’espace d’e´ nergie !
Sandrine Grellier
!
Sur l’e´ quation de Szego cubique ¨
˜ IntroSzeg¨ocubicLaxparioSilotsnM(1)M(1) Cas du groupe de Heisenberg
Surle groupe de HeisenbergH1=Cz×Rs,Δle sous-laplacien.Pour les fonctions ”radiales” (R) ne de´ pendant que de(|z|,s),
L2(H1)∩ R=±
m=0Vm±,Δ|Vm±=±i(2m+1)s.
SifVm±,eitΔf(z,s) =f(z,s(2m+1)t), donc
keitΔfkL4([0,1]×H1)=kfkL4(H1) Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,
keitΔfkL4([0,1]×H1).kfkHr/2(H1)r2
(espacedeSobolevadapt´ea`H1) Pas de flot re´ gulier sur l’espace d’e´ nergie !
Sandrine Grellier
!
Sur l’e´ quation de Szego cubique ¨
˜ IntrosnrioSilotbicLaxpaSzeg¨ocuM(1)M(1) Cas du groupe de Heisenberg
Surle groupe de HeisenbergH1=Cz×Rs,Δle sous-laplacien.Pour les fonctions ”radiales” (R) ne de´ pendant que de(|z|,s),
L2(H1)∩ R=±
m=0Vm±,Δ|Vm±=±i(2m+1)s.
SifVm±,eitΔf(z,s) =f(z,s(2m+1)t), donc
keitΔfkL4([0,1]×H1)=kfkL4(H1) Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,
keitΔfkL4([0,1]×H1).kfkHr/2(H1)r2
(espacedeSobolevadapt´ea`H1) Pas de flot re´ gulier sur l’espace d’e´ nergie !
Sandrine Grellier
!
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