Cet ouvrage et des milliers d'autres font partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour les lire en ligne
En savoir plus

Partagez cette publication

Petiteintroductionauxmathe´matiquesdesd´erive´snanciers (notes de cours, version provisoire) Michel Miniconi D´epartementdeMathe´matiques LaboratoireJean-AlexandreDieudonne´ Universit´edeNiceSophia-Antipolis Cesnotessontcens´eesprocurerunbagageminimumpermettantdelireavecprotlalitte´ratureexistante surlesmath´ematiquesdesd´eriv´esnanciers.Ilsagitdoncduneintroductionrapideauxconceptsetaux mod`elesdebasedel´evaluation.Ilarriveracependantquecertainsr´esultatssoientde´montr´es. Cetextepr´esenteuneversionprovisoireduncoursdeFinanceQuantitativedonne´`aluniversite´deNice. Certainschapitressontincomplets,dautressontencore`al´etatdeprojet.Jaichoisiderendrepubliquecette versioninacheve´eetinformelleparcequilmasemble´quellepouvaitˆetreutileauxe´tudiantsquisuivent cecours.Certainsexercicesquiaccompagnentlecoursutilisentdesnotionsquinesontpasencorer´edig´ees dans ces notes.
I – Introduction 1.Formulationduproble`mea`traversunexemple. ´ Unne´gociantenvinsdoitlivrer1000caissesdebouteillesdevin,soit6000bouteilles,auxEtats-Unis debutnovembre.Lecontratavecsonclientest´etablile5juillet(datet= 0) pour livraison dans quatre mois ´ (le5novembre,datenot´eeTIl).eleuqe´lupitstselceitnapeyarneodllarset`aladatedvilesiarl;noedseux parties se sont entendues sur le prix de 300 000 USD. ´ Le taux actuel EUR/USD est de 1,1cogerent´esanch3roeuun7:,37 dollar US. Evidemment ce taux vauctueraucoursdesquatremoisquise´parentladated´ecritureducontratdeladatedelivraison.Ces variations,damplitudeimpre´visible,exposerontlen´egociantaurisque de change :si le taux EUR/USD augmente,i.e.ollailedte,irchusunes´essaincsesesorueneemmose`escaaprcherltouedivdnsesroinoev inf´erieurealasommeattendue. ` 2.Quelquesstrate´giesenvisageables. Sipouruneraisonquelconquelen´egociantnepeute´viterlexpositionaurisquedechange,illuireste diversespossibilite´sdere´duirecerisque.Nousenretiendronsdeux,lecontratdevente`aterme(forwardou futures) et l’option de vente (put). ` a. Le forward.A la datetgi´nlecesevaiosr=0,apr`ni,iracheaconcs´eamurteedtartnoevaetnev lene´gociantconclutavecsaproprebanqueuncontratdevente`atermeportantsur300000USD.Parce contrat,ilsengage`ae´changerdansquatremoiscettesommeendollarscontreunesommeeneuroscalcul´eea` laidedutauxdechange`aterme.Desoncoˆte´labanquesengage`aachet`tauxlesdollarsdune´gociant. er a ce Cetauxdechangeestde´termine´aujourdhui(dateterat,pmeruouns`geanchesedh´rcamelrap)0= termedequatremois;ild´ependdesattentesdumarche´surlesdeuxdevisesainsiquedestauxdint´erˆet domestiquesenvigueurdanslesdeuxzonesconcern´ees(EURetUSD).Maiscequiestimportantpourle ´ociantcesttauxforwardestconnude`saujourdhuietqueceseraletauxquiserviradansquatre neg que ce moispourle´changedesdevises.Cecontratsupprimedonctouteincertitudesurlechange. Unforwardestuncontratentredeuxparties,nomme´eslacheteuretlevendeur.Ici,len´egociantestle vendeurdansceforward,labanqueestlacheteur:lene´gociantvenda`terme300000USDa`sabanque autauxforward.Pourxerlesid´ees,supposonsqueletauxforwardEUR/USD`aquatremoissoit1,40 : len´egociantestassure´derecevoira`le´ch´eance214270eurosene´changedeses300000dollars.Parcette ope´rationlevendeursupprimelerisqueli´e`aunebaisseimportantedudollarUSparrapporta`leuro. Onremarqueracependantquesi,aulieudechuter,ledollarsappre´cierelativement`aleurolevendeur perdrauneopportunite´degainli´ee`auneparit´eEUR/USDdevenueavantageusepourunexportateur.Dans cettesituationcestlabanque(lacheteur)quir´ealiseraunb´en´ece,puisquellepourraacheterlesdollarsau tauxe´critdanslecontratforwardetlesrevendreautauxdumarche´quiestplusavantageuxpourelle.Si 2002-2012 michel miniconi version du 16 avril 2012
parexempleledollarsappre´ciecontreleuro,faisantpasserletauxEUR/USD`a1,30ab,lrse`riovauqnapa,e achet´eles300000USDaune´gociantauprixde214270EUR,pourraimme´diatementrevendrecesdollars surlemarche´desdevisesautauxcourantde1europour1,03odllras;ellerecevraen´ceahgn2e0367e9ruos, r´ealisantainsiunbe´ne´cedepre`sde16500euros. Pourcetteraison,len´egociantpeutpre´f´rersecouvrirdurisquedechange`alaideduneoptionde vente. e b. L’option de vente.artnsaptraPocecque,abanvecss´ealaaaitngecoel´ne,t´libisiospmais non l’obli-gation,deluivendredansquatremois300000USDpaye´seneuros`tauxd´etermine´aujourdhui(date a un ttnn´egociarat:sileecratnocmeteptnecoeel`mpenstg´ga´lcˆotqueeabanraituepxsenoseD.)e=0sdlerent e, veutluivendre`acetaux,labanquealobligationdeluiachetersesdollarsa`cetaux. L`aencore,cecontratsupprimetoutrisquelie´a`labaissedutauxdechangeEUR/USD.Mais`aladi´erence ducontratforward,siletauxdumarch´ea`le´ch´eancedesquatremoisestplusavantageuxpourlen´egociant queletauxe´critdanslecontrat,cest-a`-diresiledollarUSagrimpe´parrapporta`leuroaucoursdesquatre moisjusqu`ade´passera`le´ch´eanceletauxducontrat,len´egociantpourraproterdecetteappre´ciationdu dollarUSparrapporta`leuroensadressantdirectementaumarche´desdevisespourvendresesdollars. Cettefois-ci,lecontratestin´egal,a`lavantagedun´egociant;labanqueassumetouslesrisques,puisquelle nameˆmepluslapossibilite´defaireunbe´n´ecesiledollarsappreciecontreleuro;eneet,danscecasle ´ ne´gociantiravendresesdollarsUSdirectementsurlemarch´edesdevises,etnonaupr`esdesabanqueselon letauxducontratpasse´avecelle.Pourcetteraison,ene´changedurisqueassum´e,labanquere´clameraune certainesommedargent,appele´elaprime,quedevraluiverserlen´egocianta`l´ecritureducontrat. 3. Options d’achat, options de vente : calls et puts. On appelleueornn(eaclle)pnachatndap´eeeurooitpoun contrat entre deux parties, l’acheteur et le vendeurducontrat,quiconf`ere`alacheteurledroitmaisnonlobligationdacheter,a`unecertainedate Tuprixdexercice)xe´`slaaavcn,eecuntaereinmatu(laoeluir´t´hae´ce`aete)ncairtceunel(xirpno,ekirts quantite´dunproduitde´termine´(le sous-jacent).La contrepartie (le vendeur, celui qui a´ecrtil’option) al’obligationprde´eocetenteuronsiled´arsncaited`rlatadeletsefnE.rise´tiopldenimaenonondurais caract`eredissyme´triquedececontrat(optionopelrute´detneur,obligationlrveneedrue)dtrusiuqle´iepou auxuctuationsal´eatoiresduprixdusous-jacent,risquequiseraassume´parlevendeur,celui-cire´clamera uneprimeraseuiqeel´egr´octnar,tesemtnud´etablislorsdeli.e.tedala`atrineoenuruoPte´d0.=nonptio doitlacheterenversantlaprimeoubienlarachetera`quelquunquiveutsend´ebarrasser.Laprimeetle prixderachatsontd´etermin´esparne´gociationssurlesmarche´sdede´rive´s. Onnoteraquelesous-jacentduneoption,commedailleursceluidunforwardouplusge´n´eralementde toutd´erive´,peuteˆtreuntauxdechangeouunedevise,maisaussiuneaction,unindice,unequantit´ede mati`erepremie`re,dem´etauxpr´ecieux,unedenr´eeagricole,unindiceboursier,uneressource´energ´etiqueetc. ouencoreunproduitde´rivedeceux-ci. ´ Lefait,pourlede´tenteurdeloption,deproc´eder`alatransaction(pouruncall,lachatdusous-jacent) a`ladateTlnolesesrmteesrantcoduitgnctnolpone(t)qutionchetilaase´eppaelll’exercice. ` Acoˆt´edesoptionsdachat,onavuquilexistelesoptions de vente (puts),`fnociuq´eteeurdt`alerenrtnue le droit – mais non l’obligation – devendreenunauqtermin´ect´iete´,ed´eaejntescxtenrse;dleisoeutop-osi le´metteurdeloption(levendeur)alobligationdacheterlaquantit´edesous-jacentpre´vue.Ainsi,quatre casdegurepeuventsepr´esenter: – achat d’une option d’achat, – vente d’une option d’achat, – achat d’une option de vente, – vente d’une option de vente. Enn,certainesoptionsconf`erent`aleurde´tenteurledroitdexercer`animportequelledatedurantla p´eriodedematurite´:onparlealorsnam´ptiodoicerneaime(acaritpon)noi. . .sans prejuger de la position ´ g´eographiqueo`useectuentlestransactions. 4. Encore un peu de terminologie. Dunemanie`reg´ene´rale,lorsquelonavendua`termeunecertainequantite´dunactif(option,action, taux,or,pe´trole. . .uneetd´ntieuetqonl,)idnoposition courte (short position)sur cet actif. Dans le cas d’un achat, on parle deposition longue (long position). 2
Lavensriqu`eeualntrihsacede´titnauqaitedr´tcaierisqusanoe´`eitnoa`nuduenpon´eeestledatedon d´etenteursicelui-ciexer¸caitimm´ediatementloption,eneˆut-illapossibilite´,puisfermaitsapositionsurle sous-jacentauprixdumarch´e.Parexemplesilesous-jacentsen´egociea`90C, un call 85Ca une valeur intrins`equede5Cnt)clemetueleventn´(¸racenextee,85llcaduurteente´delnoitpoette.eEnCte`echaleitra sous-jacenta`85C. S’il le revendait ensuite 90C´5uslrarem´echla,iaiurantemelnetnsiacC. se Ladi´erenceentreleprixduneoptiona`unedatedonne´eetsavaleurintrinse`queestappel´eevaleur temporelleoulav`ense.qureeurixtSi un call 85Csne´egocie8Cs-jaavnescouu`a90centCasav,nirtelruueeqs`in est de 5Cet sa valeur temporelle est de 3Csruorpeledxipoleual´erslegaujtosamoemedecdsuevx;l.itno Lorsquuneoptionaunevaleurtemporellenulle,sonprixeste´gal`asavaleurintrinse`que.Danscecason dit qu’elle cotea`ripae.t´ Uneoptionquiposs`ede`aunecertainedateunevaleurintrins`equepositiveestditedans la monnaie (in-the-money)oudans le coursvedsuelatnirsnirqu`eele,esleittdeauco.Siaapllnerieetnarhors de la monnaie (out-of-the-money)ouhors du coursla valeur du sous-jacent est identique au prix d’exercice, on dit. Lorsque que l’option esta`alyeno)-tat-mhennmoe(ai. Techniquement, une telle option est hors la monnaie puisque savaleurintrinse`queestnulle.Maissavaleurtemporelleestmaximumetcetypedoptionsfaitlobjetdun trade intensif, c’est pourquoi on leur donne un nom particulier. 5. Le juste prix. Une option est unhheerivitd´udorpiiencets´dlleeuqeessnunon,meerusdnienteecnanoreitcan,fi ´ sous-jacent.Lavaleurduneoptionvarietoutaulongdesadur´eedevie,enfonctiondesuctuationsal´eatoires du prix du sous-jacent. Leprixded´epartdeloptionestlaprimevers´eeparlacheteur`aladateou`loptioneste´crite.Sonprix a`ladatedematurite´estlepay-offhrnopruoelroreeveluednuoberesrevedd´raomasqumepoitnol,edl contrat (voirultnesmed´lesile.)sabsulmosetteCurepgdreprolaelsonnexercepas;ilteneetruedlpoit montant de la prime. Soit [0, TtametiruO.e´tonnap]lri´eedoderaSt-sajectna`aladetleprixdusout[0, T].eeld`moLe mathe´matiquedeceprixseraunas´lseusri:eaeotprocpour toutt,Stalleat´evaneabriutseineioer´de surlensembleΩdes´etatsdumonde(dumarch´e)i.e.de toutes les trajectoires de prix envisageables danslap´eriodeder´efe´rence.LensembleΩestmunidunestructuredespaceprobabilise´surlaquellenous reviendronsplustard.Ilnoussutpourlinstantdinterpre´terlaprobabilite´enquestioncommeunemesure deschancespourque,`adi´erentsinstantst, le prix du sous-jacent atteigne telle ou telle plage de valeurs. Nousverronsdailleursquecetteprobabilit´edumondere´elnintervientpasdansl´evaluation(pricing)des options,pourlaquelleelleestremplac´eeparuneprobabilit´editerisque-neutre.
(a)
(b) Pay-off : (a) d’un call ; (b) d’un put ; (c) d’un forward
(c)
` Le processus du prix de l’option,ft=f(t, Stuitges),alrape´duqimanydeduprixdusous-jaectn.lAa dateT, ce prixfTe´estlagayapu:o-secenute´epuqdiitnoofcnspotprixndduSTdu sous-jacent. On doitalorsr´epondreauxdeuxquestionssuivantes:
3