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Prescription de la courbure de Ricci au voisinage de la me´triquehyperbolique
Erwann DELAY
Universit´edeNice-SophiaAntipolis
n Re´sum´e.e´eduboaellrnuuStiRo,erelam´enconsid`brepqiloqirtyheurdstuedaanH0, dont la courbure de Ricci vautR0et la courbure de Riemann-Christoffel vautR0. Nousmontrons que, pour tout tenseur sym´etriqueRvoisin deR0i,elixtsueenm´ueiqunequrietHvoisine deH0dont la courbure de Ricci vaut Rrelsnadaceosiud,sn.oN´ddesuneCimledague,q-suosenutselhristoeiemann-CtauedrReleo´pre vari´ete´auvoisinagedeR0.n2ionsmentis´equatl´eRecioidnidemicner´eclusponsptudisue´,nonE.n
Prescription of the Ricci curvature in the neighborhood of the hyperbolic metric
n Abstract.On the unit ball ofR, one considers the standard hyperbolic metricH0whose Ricci cur-vature equalsR0and Riemann-Christoffel curvature isR0prove that, for any symetric tensor. WeRnear R0, there exists a unique metricHnearH0whose Ricci curvature isR. Wededuce in theCcase that the image of the Riemann-Christoffel operator is a submanifold in a neighborhood ofR0. Finally,we study more precisely the Ricci equation in dimension 2.
Conside´ronsunevari´et´eRiemanniennemuniedunem´etriqueH. Pourpetqentiers naturels, q nous noteronsT, l’ensemble des tenseurs covariants de rangpet contravariants de rangq. Lorsque p q= 0 etp= 2, nous noteronsS2euqsrtqicsniiuesdeenluosese-secapstdeseenssur´eymS2= H ⊕ S20,o`uHsont les multiples deHetS20a`parrtropllnupae(eeuttxcdcoenrasH). Toutcomme[3],nousutiliseronslesope´rateursdiv,RiccietBian; nous noterons de plusRiem lop´erateurdeRiemann-Christoel,Scall´eopteracourruubercslaiaerte4le laplacien brut. n SoitBaldeeet´inueluobRdeieun(mnestdienrdandateiral´mcuiluqeeE), soitρla fonction 1 22 d´eniesurBparρ(x) =(1− |x|) et soitH0=ρ Ela metrique hyperbolique standard surB. 2 Eng´en´eral,H=H0+hseruirduqenuate´mise´rengBvoisine deH0. Dansle cas particulier ou`H=H0(i.e.htnedessetnoridnieec´arspDe0.elnstotaoisnte´denitionspr´ec´e=0esutto), plus nous noteronsR0=Ricci(H0) =(n1)H0etR0=Riem(H0).
1 Courburede Ricci prescrite Pourr∈ S2voisinde 0, on chercheh∈ S2voisinde 0 tel que Ricci(H0+h) =R0+r. Moniteur-Allocataire MENESR 94-97, A.T.E.R. 97-98
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