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SectionSProblème1Soienta,b,ctroisentiersnaturelsdistinctsetsupérieursouégauxà2.Onformeleshuitcombinaisonspossiblesdecestroisnombresutilisantdesparenthèses,desadditionsetdesmultiplications.L’objectifestdetrouverdesfamillesdenombresa,b,cpourlesquelsdeuxcombinaisonsdonnentlemêmerésultat.AUnepremièrefamille1. Ecrirecescombinaisonslorsque:a=2b=3c=4a=4b=7c=8a=6b=7c=8a=6b=11c=12Surcesexemples,quellessontlescombinaisonsquidonnentlemêmerésultat?2. Endéduireunepremièrefamilled’entiersquirépondentauproblème.Leprouver.BD’autresfamilles…Onseproposedetrouverd’autresfamillestellesque(b+c)a=bc+a1. Déterminerclorsquea=petb=p+1,pétantunentiernaturelsupérieurouégalà22. Déterminerblorsquea=2petc=6p2,pétantunentiernaturelsupérieurouégalà13. EndéduiredeuxautresfamillessolutionsduproblèmeinitialCUnepropriétégénéraleOnseproposedecherchertouslesentiersnaturelsa,b,cvérifiant:
< 1.Prouverquea b.
b<c, b+c=bc+a (S) :a( ),c est minimum. a
c cc1 ≥ =+ 2.Démontrerque2.(onpourramontrerque1 .)a ab
3.Endéduiretouteslessolutionsde(S).
1.SolutionA1.Danslesexemples1,2et4ontrouvequea(b+c)=a+bc.Pasderésultatsidentiquesdansle32.Ces3possibilitéscorrespondentàdestripletsdelaforme(a,2a1,2a).OnvérifiequecestripletssontsolutionsB.1.c=p²2.b=3p3.(p,p+1,p²)et(2p,3p,6p2)