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SectionSProblème1Soienta,b,ctroisentiersnaturelsdistinctsetsupérieursouégauxà2.Onformeleshuitcombinaisonspossiblesdecestroisnombresutilisantdesparenthèses,desadditionsetdesmultiplications.L’objectifestdetrouverdesfamillesdenombresa,b,cpourlesquelsdeuxcombinaisonsdonnentlemêmerésultat.AUnepremièrefamille1. Ecrirecescombinaisonslorsque:a=2b=3c=4a=4b=7c=8a=6b=7c=8a=6b=11c=12Surcesexemples,quellessontlescombinaisonsquidonnentlemêmerésultat?2. Endéduireunepremièrefamilled’entiersquirépondentauproblème.Leprouver.BD’autresfamilles…Onseproposedetrouverd’autresfamillestellesque(b+c)a=bc+a1. Déterminerclorsquea=petb=p+1,pétantunentiernaturelsupérieurouégalà22. Déterminerblorsquea=2petc=6p2,pétantunentiernaturelsupérieurouégalà13. EndéduiredeuxautresfamillessolutionsduproblèmeinitialCUnepropriétégénéraleOnseproposedecherchertouslesentiersnaturelsa,b,cvérifiant:
< 1.Prouverquea b.
b<c, b+c=bc+a (S) :a( ),c est minimum. a
c cc1 ≥ =+ 2.Démontrerque2.(onpourramontrerque1 .)a ab
3.Endéduiretouteslessolutionsde(S).
1.SolutionA1.Danslesexemples1,2et4ontrouvequea(b+c)=a+bc.Pasderésultatsidentiquesdansle32.Ces3possibilitéscorrespondentàdestripletsdelaforme(a,2a1,2a).OnvérifiequecestripletssontsolutionsB.1.c=p²2.b=3p3.(p,p+1,p²)et(2p,3p,6p2)
b c C.a= ;o rc<b+cd o n c1 ,a<bb+c1 c b+c1c1c = =+ ≥ b.or1 ;c1b, donc2a bb a c c c.estdoncminimumquandilestégalà2.Si=2alorsc=2a,donca+2ab=a(b+2a),donca(2aba a 1)=0,doncb=2a1.Onabienb<c.Lesseulessolutionsde(S)sontdonclestriplets(a,2a1,2a)aentiersupérieurouégalà2.Problème21. OnconsidèreunensembleEduplancontenantaumoinstroispointsettelquelesdistancesentredeuxquelconquesdesespointssoientégales.a. Donnerunexempled’ensembleEformédetroispoints.b. EstcequeEpeutcontenirplusdetroispoints?Justifier.2. DanscettequestionEestunensembledepointsdel’espacepossédantlamêmepropriétéqu’àlaquestion1.QuelestlenombremaximumdepointsdeE?3. Soitnunentiernaturelquelconqueaumoinségalà3etCuncercledonné.Montrerqu’ilestpossibledeconstruiresurcecerclenpointstelsquelesdistancesentredeuxquelconquesdecespointssoienttoutesdifférentes.Solution1. a.Untriangleéquilatéralfaitl’affaire.bSoitA,BCetDquatrepointsdeE.ABCetABDsontéquilatéraux.CetDétant3distinctsilssontsymétriquesparrapportà(AB).OnaalorsCD=AB AB.IlestdoncimpossiblequeEcontiennequatrepointsnidavantageparconséquent.2.Epeutcontenir4points(tétraèdrerégulier)maispasdavantagecommelemontreraitunraisonnementsemblableau1b.3.Onpeutconstruirefacilement3pointssurlecerclevérifiantlapropriété.Ilsuffitqueletriangleforméparces3pointsnesoitpasisocèle.DoncsiAetBsontdonnés,CnedoitpasoccupélapositiondespointsM,N,PouQ,obtenusentraçantlamédiatricedusegment[AB],lecercledecentreApassantparBetlecercledecentreBpassantparA.
Sil’onsouhaiteplacerunquatrièmepointilfaudraéviterM,N,PetQmaisaussilesquatrepointsconstruitsàpartirde[AC]etlesquatreautresconstruitsàpartirde[BC].Onmetdoncenplaceunalgorithmedeconstruction:sinpointssontdéjàn(n1) placéssurlecercleformantentreeuxunnombrefiniNdesegments(N= ),2 lenombredepointsàéliminerpourplacerunpointsupplémentaireestaumaximumde4N(ilestpossiblequ’ilyaitdessuperpositions).Lecercleayantuneinfinitédepoints,celaesttoujourspossible.PourlesnonSProblème1Enpartantdunombre1,onpeutarriverà2010enn’utilisantquedeuxopérations:ajouter1etmultiplierpar7.Onpeutparexempleajouter2010foisle1.Donnerunesolutionavecunnombred’étapeslepluspetitpossible.
Solution× ×× ((1+1+1+1+1) 7+1+1+1+1+1+1) 7 7+1,cequifait14étapesProblème2
Uneligneestdésignéeparlenombreécritdanssapremièrecaseàgauche.Unecolonneestdésignéeparlenombreécritdanssacaselaplushaute.Unnombreestrepéréparlaligneetlacolonnedanslesquelsilsetrouve.Parexemplelenombre11estrepérépar(10,5),lenombre8par(5,4).1. Commentestrepérélenombre30?
2. Commentestrepérélenombre2010?
Solutionème 1.(26,2)pour302.(1937,900)Eneffet2010estentre1936et2025.C’estle74nombredeème ème lalignequiencontient89.C’estle29aprèsle44quiestaudessousdu1.Ilestdoncème audessousdu30carrédoncde900.Problème3Onconsidèrelasuitebâtiedelamanièresuivante:1 11 11 1 1 1 1 1 1 = == = l(1);l(1, );l(1, , ,);l(1, , , , , , ,),…,chaquenouvelleséquenceétant0 12 3 2 22 42 2 4 2 4 4 8 obtenueenrecopiantlaprécédenteetenyrajoutantlesmêmestermesdiviséspar2.1. Quelleestlapluspetitevaleurnpourlaquellelncontientplusde2010éléments?ème l? 2. Pourcettevaleurdenquelestle2010élémentden3. Quelleestlasommedesélémentsdeln?Onpourracommencerparcalculercelledel,letl 1 23.Solution1.n=11,
2.U2010=0,5(U1024 – 39)=1/4(U512 – 39)=1/8(U256 – 39)=…=(1/32)(U64 – 39)=1/32U26
 U26=1/2U166=1/2U10=1/8.Donc U2010=1/256.
11 33.Sn+1=(3/2)Sn, S11= . ⎜ ⎟ 2