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` PROBLEMES INVERSES POUR L’ENVIRONNEMENT
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3.racsse´roiMrend 3.1.sethtionh`esypotse.atoNOn rappelle que la dimension de l’espace des e´tats(ouespacemode`le)estn, et celle de l’espace des observations estp. Dans un contextege´ophysique,onag´ene´ralementpn. On note : xtatet´lvraiid(esnemnoi(´oeur)delysusemt`n) ; xbonsienime´atdtmudoe`eld(une´ebauchedeln) ; xaanatate´mude´syllle(dod`esionimenn) ; yle vecteur d’observations (dimensionp) ; Hlp´onoisnemidedecapsnidunetion(d´eosbreavretauedrndans un espace de dimensionp) ; Brseirarnccoevdaedce´deeeautrrsielhm(aabcuxbxt) (dimensionn×n) ; Rla matrice de covariance des erreurs d’observation (yH(xt)) (dimension p×p) ; Ala matrice de covariance des erreurs d’analyse (xaxt) (dimensionn×n).
Leshypothe`sessuivantessontcourammentfaites: druesbo´potaretles´einvaerontipusno:e´euqesopul,oreailisar´einH(x)H(xb) =H(xxb) ; BetR)ss;seamnodtrsnesontpasnulleitis(seveseluerrictrd´esniepoes eetauch´berudsreerdsseceanerp´eses:lrsuerreselsnadsiailinayapdsbe d’observations sont nulles,E(xbxt) = 0 =E(yH(xt)) ;   T cohnesestodntodsbdse´revbaatui´sleeree:esrrue´ocrrle´E(xbxt)(yH(xt)) = 0 ; onchire:n´eastliceitocrrueenrehcn´lindpe´eidquonsedtnemeriaelanaeesyl observationsetdele´bauche.Oncherchege´ne´ralementa`faireapparaˆıtrele vecteur d’innovation,yH(xb) ; se`reuquatspiss´eysiequatetlalanesylanamitpotsechone:aln´eucher possibledel´etatr´eeldusyst`eme,ausensdesmoindrescarre´s,ouduminimum de variance. 3.2.ra´rercsiodnM.se The´ore`me3.1.L’estimateurdnercsra´rseoimoptimal, ou BLUE (Best Linear UnbiasedEstimator),estd´eniparlinterpolationsuivante: T T1 (5)xa=xb+K(yH(xb)), K=BH(HBH+R), ou`lope´rateurline´aireKat.Lseet´eppatseoumatricl´egain,leaanyldegeiadn analyse´xaeme`tsymitpi:laotseellpeltse`dssurpetatel´ldusr´eextau sens des moindrescarr´es. D´emonstration.rofeemetustntelreoh´emr`uiesntvaLapreuvesappuisoucnon,d d´emontreronslesdeuxthe´ore`mesenmeˆmetemps.The´ore`me3.2.La matrice de covariance d’erreur d’analyse est, pour n’importe quel gainK, T T (6)A= (IKH)B(IKH) +KRK . SiKsensl(auoinddesmelagetsitamnipoespronsividet:encser´rra,)sexel (7)A= (IKH)B.
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