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PSI MATHEMATIQUES
Mardi 9 FÉvrier 2010
Feuille d’Exercices Espaces euclidiens
Exercice 1: SoientEun espace euclidien etpun projecteur. Montrer quepest un projecteur orthogonal ssi il est autoadjoint.
Exercice 2: (CCP) 2 SoitEun espace euclidien,(a, b)Eetϕ∈ L(E)dÉfinie par : ϕ(x) =< a,x > b< b,x > a. DÉterminerϕ.   0c b   Exercice 3: SoitA=c0a, aveca, b, crÉels non tous nuls. b a0 1. Montrer queI3+Aest inversible. Que dire deI3A? 1 2. Montrer que(I3+A)(I3A)SO3(IR).
  a b c   Exercice 4: SoitA=c a b∈ M3(IR) b c a 4 Montrer queMSO3(IR)ssi il existet[0,], tel queP(a) =P(b) =P(c) = 027 3 2 P=XX+t.
Exercice 5: DÉterminer nature et ÉlÉments caractÉristiques des endomorphismes de 3 IRassociÉs aux matrices suivantes :   1 22 1   1.A= 21 2. 3 12 2   1 22 1   2.A=12 2. 3 2 1 2   2 1 2 1   3.A= 221. 3 12 2 Exercice 6: DÉterminer nature et ÉlÉments caractÉristiques de l’ endomorphisme de   1 11 1 1 11 11   4 IRassociÉ ÀA=.   2 1111 111 1 Exercice 7: 3 1. DÉterminer la matrice dans la base canonique de la rÉflexionsdeIRpar rapport au planPd’Équation cartÉsiennex+y+z= 0. π 2. DÉterminer la matrice dans la base canonique de la rotationrd’angle autourde 3 l’axe dirigÉ et orientÉ para= (1,1,1).
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