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PSI MATHEMATIQUES
Mardi 20 Octobre 2009
Feuille d’Exercices Espaces vectoriels normÉs
Applications directes ou presque du cours.
+ Exercice 1: Soitfune fonction continue de[0,1]dansIR. On considÈre l’applica-tion : Nf:IK[X]−→IR P7Nf(P) =sup|f(x)P(x)| x[0,1] 1) Donner une CNS surfpour queNfsoit une norme surIK[X]. 2) Montrer que, s’il existe deux rÉelsa, bstrictement positifs tels queafgbf, alors les normesNfetNgsont Équivalentes.
Exercice 2: Soit(E,k.k)unIK-e.v.n etfun endomorphisme deE. On dÉfinit l’appli-cationNsurEen posantN(X) =kf(X)k. DÉterminer une CNS pour queNsoit une norme surE.
Exercice 3: p t 1) Montrer que l’application dÉfinie parN(A) =tr(AA)est une norme surMn(IR). 2) a) Montrer queN(AB)N(A)N(B)pour tousAetB. b) CaractÉriser les couples(A, B)pour lesquels :N(AB) =N(A)N(B). 0 3) SoitNune autre norme surMn(IR). Montrer qu’il existec >0tel que :
200 0 (A, B)∈ Mn(IC), N(AB)c N(A)N(B)
Exercice 4: 1 SoitE=C([0,1],RI). PourfE, on pose : s Z 1 202 N(f) =f(0) +f(t)dt 0 1. Montrer queNest une norme surE. 2. Montrer quekfk2N(f). 3.Netk.k?sont-elles Équivalentes
Exercice 5:Montrer que, dans un e.v.n(E,k.k):
2 (x, y)E ,r >0, x+B(y, r) =B(x+y, r)
xE,aIR ,aB(x, r) =B(ax,|a|r) Exercice 6: SoitAune partie d’un e.v.n(E,kk)etOun ouvert deE. Montrer que A+Oest un ouvert deE.
Exercice 7: Montrer queZest fermÉ deIR.
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