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Quanteninvarianten und niedrigdimensionale Topologie
Michael Eisermann
Institut Fourier, Grenoble wwwfourier.ujfgrenoble.fr/˜eiserm
9. März 2009
Vortrag am Mathematischen Institut der Universität Münster
Überblick
1
2
3
4
Von klassischen Invarianten zu Quanteninvarianten
Diskrete YangBaxterOperatoren und Deformationen
Das JonesPolynom von Bandverschlingungen
Zusammenfassung und Ausblick
GeschichtlicherÜberblickzurKnotentheorie
Vorläufer (vor 1900) Elektromagnetismus (Gauss) Vorstudien zur Topologie (Listing) Atomtheorie – Knoten im Äther (Kelvin) empirische Klassifikation (Kirkman, Little, Tait)
GeschichtlicherÜberblickzurKnotentheorie
Vorläufer (vor 1900) Elektromagnetismus (Gauss) Vorstudien zur Topologie (Listing) Atomtheorie – Knoten im Äther (Kelvin) empirische Klassifikation (Kirkman, Little, Tait)
Klassische Topologie (ab 1900) Fundamentalgruppe (Poincaré, Wirtinger, Dehn, . . . ) Homologie (Alexander, Seifert, . . . ) Diagramme (Reidemeister), Zopfgruppen (Artin) 2/3/4Mannigfaltigkeiten (Fox–Milnor, Papakyriakopoulos, Waldhausen, . . . )
GeschichtlicherÜberblickzurKnotentheorie
Vorläufer (vor 1900) Elektromagnetismus (Gauss) Vorstudien zur Topologie (Listing) Atomtheorie – Knoten im Äther (Kelvin) empirische Klassifikation (Kirkman, Little, Tait)
Klassische Topologie (ab 1900) Fundamentalgruppe (Poincaré, Wirtinger, Dehn, . . . ) Homologie (Alexander, Seifert, . . . ) Diagramme (Reidemeister), Zopfgruppen (Artin) 2/3/4Mannigfaltigkeiten (Fox–Milnor, Papakyriakopoulos, Waldhausen, . . . )
Quantentopologie (ab 1984) ZopfDarstellungen und Deformationen (Jones, HOMFLYPT, Kauffman, . . . ) Invarianten von endlichem Typ (Vassiliev, Goussarov, . . . , Kontsevich, . . . ) Kategorifizierung (Khovanov, OsvathSzabo, . . . )
Knoten und Verschlingungen
1 3 3 EinKnotenist eine glatte Einbettungf:S֒R(oderS).
Knoten und Verschlingungen
1 3 3 EinKnotenist eine glatte Einbettungf:S֒R(oderS).
1 3 EineVerschlingungist eine glatte Einbettungf:n×S֒R.
Knoten und Verschlingungen
1 3 3 EinKnotenist eine glatte Einbettungf:S֒R(oderS).
1 3 EineVerschlingungist eine glatte Einbettungf:n×S֒R.
3 Wir betrachten diese modulo Isotopie desR.
R1 ~
R2 ~
R3 ~
Überblick
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Von klassischen Invarianten zu Quanteninvarianten Fundamentalgruppe und AlexanderPolynom JonesPolynom und Quanteninvarianten Invarianten von endlichem Typ
Diskrete YangBaxterOperatoren und Deformationen
Das JonesPolynom von Bandverschlingungen
Zusammenfassung und Ausblick
Fundamentalgruppe
Satz (Dehn 1914) Die beiden Kleeblattschlingen sind verschieden.