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Quanteninvarianten und
niedrigdimensionale Topologie
Michael Eisermann
Institut Fourier, Grenoble
17. Juni 2009
Vortrag am Mathematischen Institut der Universitat¨ zu Koln¨¨Uberblick
1 Von klassischen Invarianten zu Quanteninvarianten
2 Diskrete Yang-Baxter-Operatoren und Deformationen
3 Das Jones-Polynom von Bandverschlingungen
4 Zusammenfassung und AusblickKlassischeTopologie(ab1900)
Fundamentalgruppe (Poincare,´ Wirtinger, Dehn, . . . )
Homologie (Alexander, Seifert, . . . )
Diagramme (Reidemeister), Zopfgruppen (Artin)
2=3=4-Mannigfaltigkeiten (Fox–Milnor, Papakyriakopoulos, Waldhausen, . . . )
Quantentopologie(ab1984)
Zopf-Darstellungen und Deformationen (Jones, HOMFLYPT, Kauffman, . . . )
Invarianten von endlichem Typ (Vassiliev, Goussarov, . . . , Kontsevich, . . . )
Kategorifizierung (Khovanov, Osvath-Szabo, . . . )
¨Geschichtlicher Uberblick zur Knotentheorie
¨Vorlaufer(vor1900)
Gauss: Elektromagnetismus
Listing: Vorstudien zur Topologie
¨Kelvin: Atome als Knoten im Ather
Kirkman, Little, Tait: empirische KlassifikationQuantentopologie(ab1984)
Zopf-Darstellungen und Deformationen (Jones, HOMFLYPT, Kauffman, . . . )
Invarianten von endlichem Typ (Vassiliev, Goussarov, . . . , Kontsevich, . . . )
Kategorifizierung (Khovanov, Osvath-Szabo, . . . )
¨Geschichtlicher Uberblick zur Knotentheorie
¨Vorlaufer(vor1900)
Gauss: Elektromagnetismus
Listing: Vorstudien zur Topologie
¨Kelvin: Atome als Knoten im Ather
Kirkman, Little, Tait: empirische Klassifikation
KlassischeTopologie(ab1900)
Fundamentalgruppe (Poincare,´ Wirtinger, Dehn, . . . )
Homologie (Alexander, Seifert, . . . )
Diagramme (Reidemeister), Zopfgruppen (Artin)
2=3=4-Mannigfaltigkeiten (Fox–Milnor, Papakyriakopoulos, Waldhausen, . . . )¨Geschichtlicher Uberblick zur Knotentheorie
¨Vorlaufer(vor1900)
Gauss: Elektromagnetismus
Listing: Vorstudien zur Topologie
¨Kelvin: Atome als Knoten im Ather
Kirkman, Little, Tait: empirische Klassifikation
KlassischeTopologie(ab1900)
Fundamentalgruppe (Poincare,´ Wirtinger, Dehn, . . . )
Homologie (Alexander, Seifert, . . . )
Diagramme (Reidemeister), Zopfgruppen (Artin)
2=3=4-Mannigfaltigkeiten (Fox–Milnor, Papakyriakopoulos, Waldhausen, . . . )
Quantentopologie(ab1984)
Zopf-Darstellungen und Deformationen (Jones, HOMFLYPT, Kauffman, . . . )
Invarianten von endlichem Typ (Vassiliev, Goussarov, . . . , Kontsevich, . . . )
Kategorifizierung (Khovanov, Osvath-Szabo, . . . )1 3Eine Verschlingung ist eine glatte Einbettungf : nS ,!R .
3Wir betrachten diese modulo Isotopie desR = Diagramme modulo
R1 R2 R3~ ~ ~
Knoten und Verschlingungen
1 3 3Ein Knoten ist eine glatte Einbettungf :S ,!R (oderS ).3Wir betrachten diese modulo Isotopie desR = Diagramme modulo
R1 R2 R3~ ~ ~
Knoten und Verschlingungen
1 3 3Ein Knoten ist eine glatte Einbettungf :S ,!R (oderS ).
1 3Eine Verschlingung ist eine glatte Einbettungf : nS ,!R .Knoten und Verschlingungen
1 3 3Ein Knoten ist eine glatte Einbettungf :S ,!R (oderS ).
1 3Eine Verschlingung ist eine glatte Einbettungf : nS ,!R .
3Wir betrachten diese modulo Isotopie desR = Diagramme modulo
R1 R2 R3~ ~ ~¨Uberblick
1 Von klassischen Invarianten zu Quanteninvarianten
Fundamentalgruppe und Alexander-Polynom
Jones-Polynom und Quanteninvarianten
Invarianten von endlichem Typ
2 Diskrete Yang-Baxter-Operatoren und Deformationen
3 Das Jones-Polynom von Bandverschlingungen
4 Zusammenfassung und AusblickK
Algebraische Invariante:
3Fundamentalgruppe := (R rK)K 1
Meridianmk
Longitude‘k
m ‘K K
Satz (Papakyriakopoulos 1957)
Ein KnotenK ist genau dann trivial wenn‘ = 1.K
Satz (Waldhausen 1968)
Die InvarianteK7! ( ;m ;‘ ) klassifiziert Knoten bis auf Isotopie.K K K
=) Vollstandige¨ Invariante, aber schwer zu handhaben.
Fundamentalgruppe
Satz (Dehn 1914)
Die beiden Kleeblattschlingen sind verschieden.