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Quanteninvarianten und
niedrigdimensionale Topologie
Michael Eisermann
Institut Fourier, Grenoble
www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm
7. Oktober 2008
¨Vortrag an der Universitat Stuttgart
Institut fur Geometrie und Topologie¨¨Uberblick
1 Von klassischen Invarianten zu Quanteninvarianten
2 Diskrete Yang-Baxter-Operatoren und Deformationen
3 Das Jones-Polynom von Bandverschlingungen
4 Zusammenfassung und Ausblick1 3Eine Verschlingung ist eine glatte Einbettungf : nS ,!R .
3Wir betrachten diese modulo Isotopie desR .
R1 R2 R3
~ ~ ~
Knoten und Verschlingungen
1 3 3Ein Knoten ist eine glatte Einbettungf :S ,!R (oderS ).3Wir betrachten diese modulo Isotopie desR .
R1 R2 R3
~ ~ ~
Knoten und Verschlingungen
1 3 3Ein Knoten ist eine glatte Einbettungf :S ,!R (oderS ).
1 3Eine Verschlingung ist eine glatte Einbettungf : nS ,!R .Knoten und Verschlingungen
1 3 3Ein Knoten ist eine glatte Einbettungf :S ,!R (oderS ).
1 3Eine Verschlingung ist eine glatte Einbettungf : nS ,!R .
3Wir betrachten diese modulo Isotopie desR .
R1 R2 R3
~ ~ ~KlassischeTopologie(ab1900)
Fundamentalgruppe (Poincare,´ Wirtinger, Dehn, . . . )
Homologie (Alexander, Seifert, . . . )
Diagramme (Reidemeister), Zopfgruppen (Artin)
2=3=4-Mannigfaltigkeiten (Fox, Milnor, Papakyriakopoulos, Waldhausen, . . . )
Quantentopologie(ab1984)
Zopf-Darstellungen und Deformationen (Jones, HOMFLYPT, Kauffman, . . . )
Invarianten von endlichem Typ (Vassiliev, Goussarov, . . . , Kontsevich, . . . )
Kategorifizierung (Khovanov, Osvath-Szabo, . . . )
¨Geschichtlicher Uberblick zur Knotentheorie
Vorlauf¨ er(vor1900)
Elektromagnetismus (Gauss)
Vorstudien zur Topologie (Listing)
¨Atomtheorie – Knoten im Ather (Kelvin)
empirische Klassifikation (Kirkman, Little, Tait)Quantentopologie(ab1984)
Zopf-Darstellungen und Deformationen (Jones, HOMFLYPT, Kauffman, . . . )
Invarianten von endlichem Typ (Vassiliev, Goussarov, . . . , Kontsevich, . . . )
Kategorifizierung (Khovanov, Osvath-Szabo, . . . )
¨Geschichtlicher Uberblick zur Knotentheorie
Vorlauf¨ er(vor1900)
Elektromagnetismus (Gauss)
Vorstudien zur Topologie (Listing)
¨Atomtheorie – Knoten im Ather (Kelvin)
empirische Klassifikation (Kirkman, Little, Tait)
KlassischeTopologie(ab1900)
Fundamentalgruppe (Poincare,´ Wirtinger, Dehn, . . . )
Homologie (Alexander, Seifert, . . . )
Diagramme (Reidemeister), Zopfgruppen (Artin)
2=3=4-Mannigfaltigkeiten (Fox, Milnor, Papakyriakopoulos, Waldhausen, . . . )¨Geschichtlicher Uberblick zur Knotentheorie
Vorlauf¨ er(vor1900)
Elektromagnetismus (Gauss)
Vorstudien zur Topologie (Listing)
¨Atomtheorie – Knoten im Ather (Kelvin)
empirische Klassifikation (Kirkman, Little, Tait)
KlassischeTopologie(ab1900)
Fundamentalgruppe (Poincare,´ Wirtinger, Dehn, . . . )
Homologie (Alexander, Seifert, . . . )
Diagramme (Reidemeister), Zopfgruppen (Artin)
2=3=4-Mannigfaltigkeiten (Fox, Milnor, Papakyriakopoulos, Waldhausen, . . . )
Quantentopologie(ab1984)
Zopf-Darstellungen und Deformationen (Jones, HOMFLYPT, Kauffman, . . . )
Invarianten von endlichem Typ (Vassiliev, Goussarov, . . . , Kontsevich, . . . )
Kategorifizierung (Khovanov, Osvath-Szabo, . . . )¨Uberblick
1 Von klassischen Invarianten zu Quanteninvarianten
Fundamentalgruppe und Alexander-Polynom
Jones-Polynom und Quanteninvarianten
Invarianten von endlichem Typ
2 Diskrete Yang-Baxter-Operatoren und Deformationen
3 Das Jones-Polynom von Bandverschlingungen
4 Zusammenfassung und Ausblick3 := (R rK)K 1 K
Meridianmk
Longitude‘k
Das Tripel ( ;m ;‘ ) istK K K
eine Invariante des KnotensK.
Jedes Diagramm des KnotensK liefert
m ‘K K
eine Prasentation¨ der Gruppe .K
Satz (Papakyriakopoulos 1957)
Der KnotenK ist genau dann trivial wenn‘ = 1 in .K K
Satz (Waldhausen 1968)
Die InvarianteK7! ( ;m ;‘ ) klassifiziert Knoten bis auf Isotopie.K K K
Vollstandige¨ Invariante, aber schwer zu handhaben.
Fundamentalgruppe
Satz (Dehn 1914)
Die beiden Kleeblattschlingen sind verschieden.