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QUEUE DEPOISSON AU PÉAGEAppliquer l'Analyse (équations fonctionnelles) aux Probabilités Objectif Continuité. Dérivabilité. Fonctions exponentielles. Notions utilisées Des véhicules se présentent à un poste de péage de façon aléatoire. Déterminer la loi de probabilité qui donne le nombre de véhicules se présentant au péage pendant un laps de temps donné. Pour tout couple (u;v) de réels positifs, tels queuv, on noteX lavariable aléatoire égale au [u;v] nombre de véhicules se présentant au péage entre les instantsu etv. On fait les hypothèses suivantes, qui paraissent correspondre à la réalité : 1. Laloi deXne dépend que de la longueur de l'intervalle de temps[u;v]; autrement dit, pour [u;v] tout entier natureln, il existe une fonctionpsur définie[0;+[, à valeurs dans[ 0 ; 1], telleque : n P X=n=p(vu). ([u;v])n 2. Laprobabilité d'arrivée d'un véhicule ou plus dans un intervalle de temps de durée nulle est elle même nulle, soit encore : pour tout entier non nuln,p(0)=0, etp(0)=1; en revanche, la probabilité n0 qu'il n'arrive aucun véhicule pendant une unité de temps n'est pas nulle :p(1)0. On notera :0 p(1)=a, aveca] 0 ; 1 ]. 0 3. Lesvariables aléatoiresXconcernant des intervalles de temps disjoints ou n'ayant qu'un instant [u;v] en commun sont indépendantes. Autrement dit, siuvu'v',XetXsont indépendantes [u;v] [u';v'] 4. Lorsquela longueur de l'intervalle de temps tend vers0, la probabilité d'arrivée de deux véhicules ou plus dans ce laps de temps est négligeable devant la probabilité d'arrivée d'un véhicule 1p(t)p(t) 0 1 exactement :lim=0. t0p(t) 1 A. Déterminationde la fonctionp 0 (p(t)=probabilité qu’il n'arrive aucun véhicule durant un intervalle de temps de duréet). 0 1. a. Démontrerque, pour tous réels positifstets,p(t+s)=p(t).p(s). (On pourra considérer les o oo intervalles de temps :[ 0;t]et[t;t+s]). k b. Endéduire que pour tout entier naturelk,p(k.t)=(p(t))0 0 1⎜ ⎟ ⎛ ⎞ 1kc. Démontrerque pour tout entier naturel non nulk,p=a. 0⎜ ⎟ k ⎝ ⎠ r d. Démontrerque, pour tout rationnel positifr,p(r)=a. 0
VIII  Problèmes de synthèse
Queue de Poisson au péage
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