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Schéma de Picard et courbes elliptiques
M. Tibouchi 23 mai 2006
Résumé Après avoir introduit le foncteur de Picard relatif et établi formellement cer-taines des propriétés du schéma qui le représente sous réserve qu’il existe, on montre que le schéma de Picard d’une courbe elliptique existe bien, et que sa composante neutre est isomorphe à la courbe elle-même.
1 LefoncteurPicX/S 1 SoitXunS-schéma. Onrappelle quePic(X)désigne le groupe des classes d’isomorphisme de faisceaux inversibles surX, la loi de groupe étant le produit tensoriel.Picest un foncteur contravariant, puisque sif:XYest un mor-phisme deS-schémas etLun faisceau inversible surY,fLest un faisceau inversible surX, et que le produit tensoriel commute àf. LorsqueXest par exemple une courbe projective lisse sur un corpskalgé-briquement clos,Pic(X)est (au facteurZprès) l’ensemble desk-points d’une k-variété abélienne (i.e. d’unk-schéma en groupes propre de type fini), appelée la jacobienne deX. Cette « algébrisabilité » est un résultat très important de la théorie des courbes, car les variétés abéliennes sont une structure assez riche et rigide. On sait complètement décrire le foncteur des points de la jacobienneJd’une telle courbeX/k: on a pour toutk-schémaT,(J×Z)(T) = Pic(X×kT)/Pic(T). Cela conduit à définir lefoncteur de Picard relatifd’unS-schémaXquelconque : PicX/S(T) = Pic(X×ST)/Pic(T) On peut s’imaginerPicX/S(T)comme, dans les bons cas, le groupe des fa-milles de faisceaux inversibles surXparamétrées parT, au sens précis suivant. Proposition 1.On suppose queXest projectif et plat surS, muni d’une section ω:SX, et que le morphisme naturelOSfOXest un isomorphisme 2 universel. Alorspour toutS-schémaTde type fini, deux faisceaux inversibles 1 Tous les schémas que l’on va considérer sont noethériens, par prudence... 2 D’après [Gro63] 7.8.8, il suffit, pour que cette dernière condition soit vérifiée, queXsoit de type fini à fibres géométriquement intègres. Merci à David Madore et à Sandra Rozensztajn pour cette remarque.
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