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S¶eminaire BOURBAKI 45µeme ann¶ee, 1992-93, n o 765
Mars 1993
MONODROMIEDESSYSTµEMESDIFFERENTIELSLINEAIRES ˆ µA POLES SIMPLES SUR LA SPH µERE DE RIEMANN [daprµesA.Bolibruch]
par Arnaud BEAUVILLE
1. Introduction Consid¶erons un systµeme di® ¶erentiel lin¶eaire d’ordre n
(A)
y 0 ( z ) = A( z ) y ( z )
oµu A( z ) dz est une forme di® ¶erentielle m¶eromorphe sur la sphµere de Riemann, µavaleursdans M n ( C ),admettantcommeseulessingularitesdespoˆlessimples. Autrement dit, on a A( z ) = X A ® , z ¡ ® ® § oµu § est une partie ¯nie de C , et les A ® des matrices complexes. Pour ¶eviter davoirµadistinguerdescasparticuliers,noussupposeronstoujoursquelesystµeme n’a pas de singularit¶e µa l’in¯ni, ce qui se traduit par la relation X A ® = 0 . § Le systµeme (A) admet des solutions globales qui sont des fonctions multi-formes sur P 1 §,cest-µa-diredesfonctionsholomorphes(µavaleursdans C n ) surlerevˆetementuniverselde P 1 § . Ces solutions forment un espace vecto-riel S de dimension n , sur lequel le groupe fondamental ¼ 1 ( P 1 § , ¤ ) opµere ; la repr¶esentation ½ : ¼ 1 ( P 1 § , ¤ ) ¡ → GL (S) correspondante est appel¶ee represen-tation de monodromie dusystµeme(A).Leproblµemequejevaisconsidererdans cetexposeestdesavoirsi touterepresentationde ¼ 1 ( P 1 § , ¤ ) peuteˆtrerealisee commerepresentationdemonodromiedunsystµemeµapoˆlessimples.
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