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S´eminaireP.LELONG,P.DOLBEAULT,H.SKODA (Analyse)24eanne´e,1983/84 Lecture Notes in Math.1198, Springer, pages 88–97
Unexempledebre´holomorphenondeStein 2 `abreCaudessus du disque ou du plan
par JeanPierre Demailly Universit´edeGrenobleI,InstitutFourier LaboratoiredeMath´ematiquesassoci´eauC.N.R.S.n188 BP74,F38402SaintMartindHe`res,France
2 Nousconstruisonsunexemplesimpledespacebre´holomorphea`breCaudessus du disque ou du plan, dont les automorphismes de transition sont de type exponentiel. Nous montrons en fait que toutes les fonctions holomorphes ou plurisousharmoniques de cebr´eproviennentdefonctionssurlabase.
We construct a simple example of a nonStein holomorphic fiber bundle over the disk 2 or the plane, with fiberCWeand with structural automorphisms of exponential type. show in fact that all holomorphic or plurisubharmonic functions on the bundle arise from functions on the basis.
0. – Introduction Lobjetdecettenoteestdedonnerunexempleaussisimplequepossibledunbre´ 2 holomorphenondeSteina`breCayant pour base le disque ou le plan, et dont les automorphismes de transition sont de type exponentiel.
CestH.Skoda([6],1977)quiadonne´lepremierexempledunbr´enondeStein`abase eta`bredeStein,re´pondantainsiparlan´egative`aunproble`mesoulev´eparJ.P.Serre [5]en1953.Nousavonsparlasuiteam´eliore´laconstructiondeH.Skodapourobtenir uncontreexempledontlabasee´taitsimplementconnexe[1],[2],maislade´monstration restait obscure du fait de la profusion d’artifices techniques plus ou moins inutiles. Nous espe´ronsavoiricibeaucoupclari´ecetexemple.
Leprincipedelaconstructionreposesurunein´egalite´duea`P.Lelong[4],quiimposedes restrictionss´ev`eres`alacroissancedesfonctionsplurisousharmoniques(pshenabre´ge´)le longdesbres,cf.lemme1.1.Cetteine´galit´eentraˆıneunefortedistorsiondelacroissance suivantlesdie´rentesbrespourunchoixad´equatdesautomorphismesdetransition. Graˆcea`uncalculdenveloppepseudoconvexeutilisantleprincipedudisque,onende´duit alorsquelesfonctionspshdubre´sontconstantessurlesbres,cf.th´eor`eme4.6.Dans notreexemplelebre´estdeplustopologiquementtrivial.
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