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S´eminairePoincare´XIV(2010)126
(Ir)re´versibilit´eetentropie
Ce´dricVillani Universit´edeLyon &InstitutHenriPoincar´e 11 rue Pierre et Marie Curie, 75231 Paris Cedex 05, FRANCE
S´minairePoincare´ e
Lacosapiu`meravigliosa`elafelicit`adelmomento L. Ferre ´
La`smpteduheeceiresecnisneeelbtiarenedreotp´exstnouslaressentontpaif chaquejour:lesmiroirsbris´esneserecollentpas,lesˆetreshumainsnerajeunissent pas,lescernescroissentsanscessedanslestroncsdesarbres,nousavonslam´emoire dese´ve´nementspass´esetpasdese´ve´nementsfuturs.Ensomme,letempss´ecoule toujoursdanslemˆemesens!Pourtant,lesloisfondamentalesdelaphysiqueclassique neprivil´egientaucunedirectiondutempsetob´eissent`aunerigoureusesyme´trie entrepasse´etfutur.Ilestpossible,commediscut´edanslarticledeT.Damourdans cememevolume,quelirr´eversibilit´esoitinscritedansdautresloisdelaphysique, ˆ parexempleducˆot´edelarelativite´ge´ne´raleoudelam´ecaniquequantique.Depuis Boltzmann, laphysique statistiquea`eon:lcatixplirteeenuacnueaavspdehcmetu traduitunotconstantdes´eve´nementsmoinsprobablesversles´ev´enementsplus probables.Avantdecontinuersurcetteinterpr´etationquiconstitueleldirecteur detoutlexpose´,jenoteraiquele´coulementdutempsnestpasforc´ementbase´sur une explication unique. Au premier examen, la suggestion de Boltzmann semble saugrenue : ce n’est pasparcequun´eve´nementestprobableiuqaliserlvaser´eeffectivemento,lraech`e dutempssembleinexorableetnetole´reraucuneexception.Lare´ponsea`cetteob-jection tient dans un slogan : laond´echellesse´aparit. Si les lois fondamentales de laphysiquesexercentauniveaumicroscopique,particulaire(atomes,mole´cules...), lesph´enome`nesquenouspouvonssentiroumesurermettentenjeuunnombre conside´rabledeparticules.Leetdecenombreestdautantplusgrandquilinter-vient dans des calculs combinatoires : siNrapsicittnapnua`e,lenombredatome exp´erience,estdelordrede1010s,maiabled´erisnoca`je´dtsec,N! ou 2Nsont des nombres surnaturellement grands, invincibles. Lesinnombrablesde´batsentrephysiciensquisesontensuivispendantplus dunsie`cle,etsepoursuiventencoreaujourdhui,t´emoignentdelasubtilit´eetde la profondeur des arguments de Maxwell et Boltzmann, porte-drapeaux d’une pe-titer´evolutionscientiquequisaccomplitdanslesann´ees1860et1870,etquivit naıˆtrelesfondementsdelath´eoriecin´etiquedesgazmoderne,leconceptuniversel ` dentropiestatistique,etlanotiondirre´versibilit´emacroscopique.Adirevrai,les argumentse´taientsisubtilsqueMaxwelletBoltzmannsysonteux-mˆemesparfois perdus,he´sitantsurcertainesinterpre´tations,alternantleserreursnaı¨vesavecles conceptsprofonds;lesplusgrandsscientiquesdelandudix-neuvie`mesie`cle,
2C.VillaniSe´minairePoincare´ commePoincar´eouLordKelvin,nontpase´te´enreste.Ontrouveraunaperc¸ude cesatermoiementsdansletextedeDamourde´ja`cite´;pourmapartjemecontenterai depre´senteruneversiond´ecante´edelathe´oriedeBoltzmann. Enretra¸cantlhistoiredelinterpr´etationstatistiquedela`echedutemps,nous auronsloccasiondeectuerunvoyageaucœurdeprobl`emesprofondsquidepuis plusdunsie`cleagitentmath´ematiciensetphysiciens.On´evoqueraa`landecetexte lafa¸condontLandautvoleren´eclatleparadigmedeBoltzmann,d´ecouvrantune apparenteirre´versibilite´la`o`uilnesemblaitpasyenavoir,etouvrantunenouvelle minedeproble`mesmathe´matiques. Lesnotationsutilise´esdanscetexpose´sontdanslensembleclassiques;jenoterai N={123   }gol=goltnemhtiraieerp´´en.e
1 Le royaume inaccessible de Newton On va adopter ici une description purement classique de notre univers physique, selonleslois´edict´eesparNewton:lespaceambientesteuclidien,letempsabsolu, etlacc´el´erationeste´galeauproduitdelamasseparlare´sultantedesforces. Danslecasdeladescriptiondungaz,ceshypoth`esessontdiscutables:dapre`s E.G.D.Cohen,lesuctuationsquantiquesnesontpasne´gligeablesauniveaume´so-scopique.Lanatureprobabilistedelam´ecaniquequantiqueesttoujoursde´battue; admettonscependantquelincertitudeaccruequir´esulteraitdelapriseencompte de ces fluctuations ne puisse qu’arranger nos affaires, au moins qualitativement, et concentrons-nousdoncsurdesmod`elesclassiquesetde´terministes,a`laNewton. 1.1Lemod`eledessph`eresdures Pourxerlesid´ees,conside´ronsunsyste`medeparticulessphe´riqueside´ales rebondissant les unes sur les autres : soientNparticules dans une boˆıte Λ, on d´esigneparXi(t) la position au tempst´teeulicrtparo´eumenecudaledertni. Les re`glesdumouvements´enoncentcommesuit: tnibne´sciluseostlesparttialemenuqesinisnOoppu(es´earepi6=j=|XiXj|>2rpe´ste)roi(lapaesdear´ed(Xi ∂Λ)> rpour touti). aTcesetnuqitioconds´epnsdesnoitarasitastno,lesitfameveouemtnset ¨ ¨ rectiligne uniforme :Xi(t) = 0 pour toutiotnne`o,oluX=d2Xdt2ionerat´el´accl deX. Quand deux particules se rencontrent, leurs vitesses changent brutalement selon les lois de Descartes : si|Xi(t)Xj(t)|= 2r, alors ˙ ˙ X˙˙i(t+) =X˙i(t)2DXi(t)X˙˙j(t) nijEnijXj(t+) =Xj(t)2DX˙j(t)Xi(t) njiEnjio`ulonnotenij= (XiXj)|XiXj|vecteur unitaire joignant les centres desle boules en collision. Quand une particule rencontre le bord, sa vitesse change aussi : si|Xix|=r avecxΛ, alors X˙i(t+) =X˙i(t)2X˙i(t) n(x)n(x)