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de profil-urra-2012

Corrigé de l'exercice

de profil-urra-2012

suivant
APPLICATION LINÉAIRE
I Généralités
Soit
2
R
E
=
ou
3
R
E
=
.
Définition :
E
E
f
:
est une application linéaire si pour tout
(
29
2
,
E
u
u
et pour tout
(
29
2
,
R
λ
λ
(
29
(
29
(
29
u
f
u
f
u
u
f
+
=
+
λ
λ
λ
λ
Exemple :
1°)
2
R
E
=
, Soit
j
y
i
x
u
+
=
un vecteur de
R
2
.
Soit
r
l’application qui à
u
un vecteur de
R
2
, telle que
(
29
j
x
i
y
u
r
+
-
=
Ou encore :
-
x
y
y
x
R
R
r
2
2
:
Ou encore
(
29
j
i
r
=
et
(
29
i
j
r
-
=
, en effet
(
29
(
29
(
29
(
29
j
x
i
y
j
yr
i
xr
j
y
i
x
r
u
r
+
-
=
+
=
+
=
Ce qui montre que l’on peut aussi définir
r
pour tout
u
en connaissant
(
29
i
r
et
(
29
j
r
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
j
x
x
i
y
y
j
y
y
i
x
x
r
j
y
i
x
j
y
i
x
r
u
u
r
+
+
+
-
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
u
r
u
r
j
x
i
y
j
x
i
y
u
u
r
+
=
+
-
+
+
-
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
2°)
2
R
E
=
. Soit
j
y
i
x
u
+
=
un vecteur de
R
2
.
Soit
p
l’application qui à
u
un vecteur de
R
2
, telle que
(
29
j
y
x
i
y
x
u
p
+
+
+
=
2
1
2
1
2
1
2
1
Montrons que
p
est linéaire
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
j
y
y
i
x
x
p
j
y
i
x
j
y
i
x
p
u
u
p
+
+
+
=
+
+
+
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
j
y
y
x
x
i
y
y
x
x
u
u
p
+
+
+
+
+
+
+
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
2
1
2
1
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
j
y
y
j
x
x
i
y
y
i
x
x
u
u
p
+
+
+
+
+
+
+
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
2
1
2
1
2
1
2
1
(
29
j
y
j
y
v
j
x
j
x
i
y
i
y
i
x
i
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u
u
p
+
+
+
+
+
+
+
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(
29
j
y
j
x
i
y
i
x
j
y
j
x
i
y
i
x
u
u
p
+
+
+
+
+
+
+
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(
29
+
+
+
+
+
+
+
=
+
j
y
j
x
i
y
i
x
j
y
j
x
i
y
i
x
u
u
p
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
λ
λ
λ
λ
(
29
+
+
+
+
+
+
+
=
+
j
y
x
i
y
x
j
y
x
i
y
x
u
u
p
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
λ
λ
λ
λ
(
29
(
29
(
29
u
p
u
p
u
u
p
+
=
+
λ
λ
λ
λ
On peut aussi définir
p
de la façon suivante :
+
+
y
x
y
x
y
x
R
R
p
2
1
2
1
2
1
2
1
:
2
2
1
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin