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Sur l’uniformisation locale et globale des structuresge´ome´triquesholomorphesrigides
Sorin DUMITRESCU
30 juin 2011
Resume.luatsteddsse´rseationpouclassic´te´ocsesedriravm-rpsuoNnotnese´ ´ ´ plexescompactesposs`edantdesstructuresg´eom´etriquesholomorphesrigides. Cetravailab´en´eci´eduneaidedelAgenceNationaledelaRechercheportant lare´f´erenceANR-08-JCJC-0130-01.
Tabledesmatie`res
1 Introduction 2 1.1Ge´ome´triesdeKlein...........................2 1.2Structuresg´eome´triquesholomorphes.................3
2Re´sultatsclassiquesduniformisation6 2.1Leth´eor`emedecood´eeisothermesdeGauß............6 r onn 2.2Th´eore`meduniformisationdessurfaces.................10 2.3Unth´eor`emeduniformisationduˆa`Wang................12
3Structuresge´ome´triquesholomorphes13 3.1 Le groupeDr(Cn. . . . . . . . . . . . 13) . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2Fibre´sdesrse..b´r........eresrep`tresetau-........4.1 3.3De´nitionetexemplesdesstructuresgeometriques...........15 ´ ´ 3.4Isome´trieslocales.Rigidite´........................21
4Re´sultatsdeclassication29 4.1Surlesvarie´te´sparall´elisables......................29 4.2Surlesvarie´t´esK¨ahle´riennes.......................33 1
5Quelquesd´eveloppements38 5.1Me´triquesRiemanniennesHolomorphes.................38 5.2 Connexions affines et projectives holomorphes . . . . . . . . . . . . . 43
1 Introduction
1.1G´eome´triesdeKlein U´erietm´,spactuneog`eneehomsneduaes,nselKieG/Iu,o`Gest un groupe negeo de Lie (de dimension finie) etIunede´mrefepuorg-suosG. Le groupeGest alors legroupedessym´etries(isome´tries)delage´om´etrieetjouelerˆolecentralsuivant: deux parties de l’espaceG/Iseeniltegamedctnois´dree´see´quivalentessiluoners l’autre par une transformation appartenant au groupeG. L’exemple type est celui dee´rte´molgannieeeuieidclorgudepuicosaee´as,es d´eplacementsG=O(n,R)nRnte`oluepteinpounougrlestilibatsedruetas d’isotropieI=O(n,R). Comme le sous-groupe des translationsRnagit librement et transitivement surG/Iteireecuilidn,euennmod`eledelag´eom´raseoralsRnmuni delaformequadratiqued´eniepositivestandarddx12+dx22+. . .+dx2n. Autresexemplesremarquablesdege´ome´tries(pr´t´eessousleursversionscom-esen plexes) sont : eholiennmannerieteiroe´mal´getalpehpromo, obtenue pourG=O(n,C)n CnetI=O(n,CUn).`domdeletece´geteom´etrieestCnmuni de la forme quadratiquecomplexenonde´ge´ne´re´edz12+. . .+dz2n.Il s’agit de la version holomorphedelage´om´etrieeuclidienne. la geometrie affine complexeobtenue pourG=GL(n,C)nCnetI=GL(n,C). ´ ´ L’action deGsurCnn-coeu`socruseesvaticompitessparlexesdroveleeserpr´ stante. irte´moetcejorpeg´laivecomplexe,o`uGest le groupe de transformations projec-tives de l’espace projectif complexePn(C) etIest le stabilisateur d’un point. Dans ce casGe.agamartr´eetcepelrsnaspserectives,itesprojeveldsorp´rsere GaußetRiemannsontlespremiersa`avoirintroduitet´etudie´lobjetinnit´esimal associ´e`alag´eom´etrieeuclidienne:enlanguagemoderne,einnameireuqirteueenn´nm surunevarie´te´estunchamplissedeformesquadratiquesde´niespositivessur l’espace tangent. Post´erieurement,dansunvasteprogrammedeg´ene´ralisation,Cartanare´ussia` de´nirlesobjetsinnite´simauxassoci´es´´etriesdeKleinG/Iet qui sont, aux geom a`cesg´eom´etries,cequelesm´etriquesriemanniennessont`alage´ome´trieeuclidi-enne [76]. Par exemple,une connexion affine holomorpheisntone-l´ieernatgi´slaa nite´simaledelage´om´etrieanecomplexeetune connexion projective holomorphe estlage´n´eralisationinnit´esimaledelage´´triprojectivecomplexe. ome e
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Cartanassociea`cesobjetsuntenseurdecourburequisannulesietseulement silobjetinnite´simalestplatoltidtnetnemelacalivqu´eat`entrem,auG/I. CartanetLieontlonguement´etudie´lessyme´tries(isom´etries)decesobjets infinit´ imaux. es Ehresmannestceluiquiapose´lecadremoderneintrinse`quedanslequelces structuresg´eom´etriquesnit´esimalessedniercuutitn´eadtresndioessine´L.]52[tn g´eome´trique,d´egag´eeparEhresmann(suiteauxtravauxpr´ecurseursdeCartan)et reprisefructueusementparGromovdans[35],estpre´sent´eedanslasuiteetsera amplementrevisite´eauchapitre3.
1.2Structuresge´om´etriquesholomorphes Commen¸conspardonnerlad´enitiondunestructurege´ome´triquedapr`es[3,35], danslecontexteholomorphequiseradiscut´edanscetexte. Consideronsunevari´et´ecomplexeMde dimensionn. Rappelons que, pour tout ´ entier positifr, le groupeDr, desr-jets en 0 de germes de biholomorphismes locaux deCnunstougrlipeean´iuqnexe,0tico¨ıncideavecriaegle´rbqieuuqGL(n,C), pourr= 1, et avec une extension deGL(n,C) par le groupe additif des formes biline´airessym´etriquessurCn, sir= 2. Lebr´edesrrese-er`pRr(M) deMeremtnida,tudestlebr´er-jets en 0 de germes debiholomorphismeslocaux,centre´sen0,entreCnetMalapicnirpe´rbnestu,u-dessus deM, de groupe structuralDr. Nous suivons [3, 35] et donnons la
D´enition1.1nUrtsereg´uctuetrieom´lomouqheerohpφ(d’ordrer) surMest une application holomorphe,Dr,rivatean´-iuqeφ:Rr(M)Z, avecZnuvera´iet´e alge´briquemunieduneactionalg´ebriquedeDr. SiZorse,aleane´´tavirutense lastructureg´eom´etriqueφ.ealg´ebriqueanedtsedetipyte
L’applicationφereduorphdebbr´etcesenuemolohnoiprerntimmcote`esZ, associe´aubr´eprincipalRr(M) via l’action deDrsurZ. Exemple :Sir= 1 etZest un espace vectoriel de dimension finie muni d’une action li ´aire deGL(n,C), alorsφest untenseur holomorphe. Il s’agit d’une struc-ne tureg´eome´triquedetypealg´ebriqueane.Ondira,avecBogomolov[12,13],queφ estyted´gepel´aner, s’il existe un point dans l’image deφdansZdont le stabilisateur est un sous-groupe fini deGL(n,C). Un biholomorphisme localfdeMe´rbudsleurtsenontiecssturellemagitna pre´ce´dent.Sicetteactionpre´serveφ, alorsfest uneoleielacomistr´edeφ. Si les isom´etrieslocalesagissenttransitivementsurMmoeirteeuqorslastructureg´,laφ ´ est ditelalocenemomthen.goe` Si l’image deφdansZest exactement uneDriisque,eaintdetibro-lors`aun espacehomog`eneDr/G,`ouGest le sous-groupe deDrqui stabilise un point de
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l’image, alorsφbde´ebrnundioersitnrerp`etecommeunesectDr/G. Cette sectionfournituner´eductiondugroupestructuraldeRr(M) au sous-groupeG. Unetellestructureg´eom´etriqueestditeuneG-structure holomorphe[48]. Lastructurege´ome´triqueφest diterigideau sens de Gromov [3, 35], si une, isome´trielocaleestd´etermin´eeparunjetdordreni.Lepseudo-groupedesisom´etries localesdunestructureg´eome´triquerigideestunpseudo-groupedeLiededimension nie,engendre´parunealg`ebredeLiededimensionnieappel´eesedbredeLiealg`e champs de Killing locaux. Pre´sentonsmaintenantdesexemplesimportantsdestructuresge´ome´triquesholo-morphes rigides qui sont desG-structures. – Sir= 1 etG={Id}cedesenriviunettaoilasimuorohhpndleono,´rpnetse bre´tangentholomorphe.Unetellestructureestaussiappel´eearpemla´llesi holomorpheanscecaset,de´teval,´iraMest dite´ellsalirapable. – Sir= 1 etG=O(n,Co,en)rpe´tsneuedncseneameireuqenneinnrietm´ holomorphe´qeiuaveltnd,naquiestl,exenude´meqirtecslteonecxtplom ue riemannienne.Ilsagitdelaversioninnite´simaledelag´eom´etrieriemannienne holomorphe plate. – Sir= 1 etG=CnO(n,Csldetulireai´ein-mocs)seedessimitlegroup plexes,onestenpr´esencedunestructure conforme holomorphe. Il s’agit d’une structureg´eom´etriquerigide,de`squensusterp´urie´eou`lagorta.sie – Soitr=2etconsid´eronlsseuo-srguoepGdeD2omis,ae`phorD1itsnoc,e´ut parles2-jetsen0disomorphismeslin´eairesdeCn. CetteG-structure est une connexion affine holomorphe sans torsion. – Soitr= 2 etGle sous-groupe deD2o,rc-el2sperati´unotsansfdetrsen0-jet mations projectives dePn(C) qui fixent 0. Il s’agit d’uneconnexion projective holomorphe normale.
Remarque 1cseltesenoixennorapaesLsmli´ell´eom´e-ucturesgtnedssrtasnseos triquesdetypealge´briqueane,maispaslesstructuresconformes,nilesconnexions projectives.
Lad´enitionpre´c´edentedesconnexionsanesetprojectives,vuescommeG-structuresestclassique[49].Lelecteurpourraegalementser´efe´rer`a[67],pourvoir ´ quelade´nitionpre´c´edentecoı¨ncideaveccelleissuedelath´eoriedesfaisceauxet adopte´edans[38,51,52]. Desnombreuxr´esultatsmontrentquelesGse´leurssheeti´arsvruseurtcomprohol-st compactesonttendanceaˆetrelocalementhomoge`nes(etmeˆmeplatesdanslecas desvari´ete´ska¨hle´riennes)[41],[43],[61],[82],[21],[19],[22]. Leplusinstructifdanscesensnoussembleler´esultatsuivantduˆ`aWang[82] (voir la preuve un peu plus tard).
Theoreme 1.2(Wang) SoitMexnncoteacmpcoxe-temdaeune´ocpmelvera´ite ´ ` tantunparalle´lismeholomorphe.AlorsMest un quotient d’un groupe de Lie com-
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plexe connexe simplement connexeGtcpraeseaunr´ompaucocΓ. De plus,Mest k¨ahl´eriennesietseulementsiGseatb´elien(etMest un tore complexe).
Rappelonsaussilesthe´ore`messuivantsquiserontprouv´esetg´en´eralise´s`ala section 4 :
Th´eor`eme1.3(Inoue, Kobayashi, Ochiai) SoitM-mocenn´ek¨i´eterieahl´veranu pacte et connexe, munie d’une connexion affine holomorpher. AlorsMadmet un reveˆtementninonrami´equiestuntorecomplexeetsurlequellimager´eciproque derest invariante par translations.
The´ore`me1.4(Bogomolov, Yau) SoitMonec-mocetcapre´lnneira´inuve¨khatee´ nexedontlapremie`reclassedeChernestnulle,munieduntenseurholomorphede ty´ene´ralφ. AlorsMtninonrami´equeitsnuoteroc-memenvˆetunredmeta pe g plexeetsurlequellimagere´ciproquedeφest un tenseur invariant par translations.
Cetextepre´senteunsurvoldesth´eoremesdeclassicationpourlesvarie´t´escom-` plexescompactesMsetsnadtemttdam´etg´eouresructehpromolohseuqirsrigidesφ (quiunientetg´en´eralisentlesre´sultat´´dent). s prece s Parexemple,danslecontextedesvarie´te´ska¨hle´riennesnousd´emontrons:
Th´eor`eme1.5SoitM`itlapdenonnxeetocpmcaconeenri´ehl¨aek´te´iravenu rem ere classedeChernestnulle,muniedunestructurege´ome´triqueholomorphedetype affineφ. Alorsφest localement homogene. ` Si, de plus,φest rigide, alorsMomecexpleadmetunrevˆetemetnnqiiuseuttnro etsurlequellimagere´ciproquedeφest invariante par translations.
Danslecaso`uMtacieL.esulple´ds´lreeinn´see¨khaationeste,lasitupoupsspasten r´esultatsdeclassicationobtenusdanscecadresontmoinsg´en´eraux:ilsconcernent lesme´triquesriemanniennesholomorphesendimensiontroisetlesconnexionsanes etprojectivesholomorphessurlessurfacescomplexescompactes.Cesre´sultatsseront ´nt´esadernierchapitre. prese u Lastrat´egieg´ene´ralepourobtenircetypeder´esultatestlasuivante.Onde´montre quelastructureg´eom´etriqueestlocalementhomoge`ne,localementisomorphea`une ˜ structurege´om´etriqueG-invarianteφleeuruspsenehacogomne`ed`moG/I(iciG seralegroupedeLieconnexeetsimplementconnexeassoci´e`alalge`bredeLiedes champs de Killing locaux deφ). Noussommesalorsdanslasituationd´ecriteparlade´nitionsuivante.
D´enition1.6vara´iet´eLMrteimoe´eel´demo´eagrlsuoltsetnemelacG/I, au sens d’Ehresmann-Thurston [24, 79], ou encore admet une(G, G/I)e,silex--´goe´mteir iste un atlas deMeursaval`stedvureedosadsnG/Itel que les applications de changementsdecartesoientdonne´espardes´el´ementsdugroupeG.
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