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Surlespectredesfibre´sentorequis’effondrentPierreJammesRe´sume´.Onconside`redesfibre´sentoressurS1etT2,munisd’unestructuredesolvarie´te´,etone´tudielecomportementduspectredulaplacienagissantsurlesformesdiffe´rentiellesinvariantesa`gauchelorsd’effondrementshomoge`nesa`courbureetdiame`treborne´s.Onmontrecommentlenombredepetitesvaleurspropresde´penddelatopologiedufibre´etdelage´ome´triedel’effondrement.Motsclefs:effondrement,laplacien,formesdiffe´rentielles,petitesvaleurspropres,nilvarie´te´s,solvarie´te´s.Abstract.—WeconsidertorusbundlesoverS1andT2withsolmanifoldstructure,andanalyzethebehavioroftheLaplacianactingonleft-invariantdifferentialformsunderhomogeneouscollapsingswithboundeddiameterandboundedsectionalcurvature.Weshowhowthenumberofsmalleigenvaluesdependsonthetopologyofthebundleandthegeometryofthecollapsing.Keywords:collapsing,laplacian,differentialforms,smalleigenvalues,nilmanifolds,solv-manifolds.MSC2000:58J50,58C401.IntroductionSoit(M,g)unevarie´te´riemanniennecompacteconnexeorientablededimen-sionm.Onconside`rel’ope´rateurΔ=dδ+δdagissantsurl’espaceΩp(M)desp-formesdiffe´rentiellessurM.Lespectredecetope´rateurformeunensemblediscretdenombrespositifsounulsqu’onnotera0=λ0,p(M,g)1,p(M,g)λ2,p(M,g)...,ou`lamultiplicite´deλ0,p(M,g)estlep-e`menombredeBettideM,lesautresvaleursproprese´tantre´pe´te´es’ilyamultiplicite´.L’e´tudedulaplacienagissantsurlesfonctions,i.e.lecasp=0,d’unevarie´te´riemanniennemontrequesilediame`treetlacourburedeRiccideMve´rifientdiam(M,g)<detRic(M,g)≥−ag,aveca>0,lapremie`revaleurproprenonnulleestuniforme´mentminore´e([Gr80],[LY80]):λ1,0(M,g)>C(m,a,d)>0.Maisunetelleine´galite´nesege´ne´ralisepasauxp>0,meˆmeavecl’hypothe`seplusfortedecourburesectionnelleborne´e.Cependant,danslecasou`lacourburesectionnelleve´rifie|K(M,g)|<a,etavecl’hypothe`sesupple´mentairequelerayond’injectivite´ve´rifieinj(M,g)>ravecr>0,B.ColboisetG.Courtoisontmontre´([CC90])queλ1,p(M,g)>C0(m,a,d,r)>0.1
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