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Rapportscientiquepr´esent´epar
Philippe Jaming
alUniversit´edOrl´eans ` pour obtenir lhabilitation`adirigerdesrecherches
C ntributi ` o ons a lanalyseharmoniquer´eelleetcomplexe et`asesapplications
Avant Propos
Liste de publications
Contents
Comportement au bord de fonctions harmoniques Avant propos Distribution au bord des fonctions harmoniques 1. Introduction 2. Cas du groupe de Heisenberg Caract´erisationdelapluriharmonicite´ 1. Introduction 2. Cas des boules hyperboliques 3. Cas du groupe de Heisenberg Perspectives 1.Limitespond´er´eesdinte´gralesdePoisson 2.Caract´erisationdesinte´gralesdePoissondedistributions 3.De´compositionasymptotiqueetpluriharmonicite ´
Applications de l’analyse de Fourier Avant Propos Principes d’incertitude 1. Principe d’incertitude de Heisenberg 1.1. Principe d’incertitude de Heisenberg 1.2.Uneversionquantitativeduth´eor`emedeShapiro 2. Principes d’incertitude qualitatifs 3.Conditionsded´ecroissancerapide 3.1. Principe d’incertitude de Hardy 3.2.Th´eor`emeduparapluie 4. Perspectives de recherche Proble`mesdereconstructiondephase 1. Introduction 2. Seconde Mesure 3.Latriple-corr´elation 4.Leproble`medambigu¨ıte´radar 4.1.Leprobl`emecontinu 4.2. Signaux de type “trains d’ondes” 4.3. Signaux de Hermite
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R´efe´rences
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Avant Propos
Cem´emoireestcompos´edetroispartiesessentiellementind´ependantes,dontleprincipal pointcommunestlerecoursa`destechniquesdanalyseharmoniqueetdanalysecomplexe. Lapremie`repartieestcentr´eesurl´etudedesfonctions harmoniquessur divers domaines. Enparticulier,nousnoussommesinte´resse´sauxproble`mesclassiquesducomportementau borddecesfonctionsainsiqua`lacaracte´risation`alaFeerman-Steindecertainsespaces fonctionnelsquellesde´nissent. Dansladeuxi`emepartie,nousavonse´tudie´desprincipes d’incertitudequi donnent des limitationsa`laconcentrationsimultan´eedunefonctionetdesatransforme´edeFourier.Ces principesadmettentdemultiplesformesmath´ematiquesdontlesplusc´ele`bressontduesa` Heisenbeg-Pauli-Weileta`Hardy.Nostravauxontconsiste´soit`adonnerdesformesplus pre´cisesdecesprincipes,soita`lese´tendrea`desoutilsdelanalysetemps-fre´quencetelleque latransform´eedeFouriera`feneˆtre,soit`aendonnerdesversionsnouvelles. Ladernie`repartiedenostravauxconcernelesprobl`emesdereconstruction de phasepour lesquelsoncherche`areconstruirelemieuxpossibleunefonctiona`partirdesonseulmodule et d’informationsa priorisceencissdeseniamodxuerbmonnsdeesdarantscourte`qneuB.ei applique´estelsquelacristallographie,lam´ecaniquequantique,letraitementdusignal...,ces questionsonte´t´eplutˆotignor´eesparlacommunaut´emath´ematiquepourquiellesconstituent pourtantund´eint´eressant.Cestlecasnotammentduaradtıe´gi¨uabmredeml`obprissu de lathe´oriedutraitementdusignalauquelnousnoussommesplusparticuli`erementint´eresse´s. Pour conclure cet avant propos, mentionnons que ces parties, bien qu’essentiellement inde´pendantes,ontuneunit´equide´passelesimplerecoursa`desoutilscommuns.Eneet, danstouslescasquenoustraitonsici,lesfonctionsontunestructureetsontde´termine´es par une “information partielle”. Parexemple,danslapremi`erepartie,on´etudiedesfonctionsharmoniques(informations structurelles)surundomaine.Celles-cisontentie`rementde´termine´esparunevaleuraubord (information partielle). Il s’agit alors de comprendre d’une part comment cette valeur au bordd´eterminelavaleurdelafonction`alinte´rieurdudomainecequiconduit`al´etude desinte´gralesdePoissonetdautrepart,enquelsenslavaleuraubordsobtientcomme limite de la fonction. Dansleprobl`emedereconstructiondephase,ondisposea`nouveauduneinformation partielle — le module|f|de la fonction inconnuef— et d’une information structurelle — furierdum´eedeFonoa`usppenofcnitexarplemptpeunartrofsteˆealerapmoctronO.tc cherchealorsa`savoirsicesdeuxinformationssusent`ade´terminerete´ventuellement`a reconstruirefeuqial,cepCs.dertenierpointnestenivas´gieicuqseuossonaspectth´eor algorithmiquerestant`ade´velopper. Dansl´etudedesprincipesdincertitude,laprobl´ematiqueestl´eg`erementdie´rentepuisquil sagitplutoˆtdecomprendredansquellemesureuneinformationpartiellesurft`usa b de´terminerfaP.dean`aexerelpmois,mednfersnofmre´deFeuoireast`raatfdˆetre extrˆemementconcentre´esalorsf.Cecennepareiestuquteersuisenagtˆeuepnmpxelele 1
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caslorsquelaconcentrationestmesur´ee`alaidedeladispersion(principedincertitudede Heisenberg),ouparuned´ecroissancerapide(th´eore`medeHardy).Leth´eore`medeBenedicks implique des restictions encore plus fortes en termes de petitesse du support puisqu’il stipule quesi une fonctionfd-heelnentlusetisoeevisemeperuemnsedblsdorneumetsilamˆe choseestvraiepoursatransforme´edeFourier,alorsfest nulle partout version plus. Une quantitativeestdue`aAmreinetBerthierquiontmontre´que,sifetgsont proches endehors dunensembledemesurepositiveetsilamˆemechoseestvraiepourleurstransforme´esde Fourier, alorsfetgsont proches partout.
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