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Topologie et Calcul Di¤érentiel(F. Rouvière)
CORRIGÉ DE LEXAMEN (2ème session)
8 juin 06
1. Topologie. a.Lapplicationf7!f(a)estlinéairedeEdansR. Linégalité évidentejf(a)j  kfkmontre 1 quelle est continue et que sa norme dapplication linéaire est au plus1. [Cette norme est en fait égale à1, puisque linégalité précédente est une égalité lorsquefest une fonction constante.] b.Daprèsalapplication':f7!f(0)f(1)est une forme linéaire continue surE. Par suite 1 son noyauA='(0)est unsous-espace vectoriel fermédeE. c.Lapplication:f7! kfkestcontinuesurE. Rappelons que cela vient de linégalité 1 triangulaire jkfk kgk j kfgk=d(f; g), 1 11 f; gsont deux éléments quelconques deEetddésigne la distance choisie surE. SiAétait compacte son image(A)serait donc une partie compacte deR, en particulier bornée. Mais cela est impossible car(A) = [0;1[, puisqueAcontient toutes les fonctions constantes surI, dont la norme est un réel positif arbitraire. DoncAnest pas compacte. Variante.Les fonctions constantesfn(x) =n, avecn2N, appartiennent àA. Mais il est impossible dextraire de la suite(fn)une sous-suite convergente, puisqued(fn; fp) =jnpj 1 pourn6=p. d.SupposonsAouverte. Pourf2Ail existerait une boule ouverteB(f; ")deE, de centrefet " de rayon" >0, tout entière contenue dansA. Considérons alors la fonctiong(x) =f(x) +x. 2 On ag2Eet " " kgfk= supx=< ". 1 2 2 0x1 Par suiteg2B(f; "); cependant " " g(0) =f(0),g(1) =f(1) +=f(0) +6=g(0), 2 2 doncg =2A. Ceci contredit linclusion deB(f; ")dansA; par suiteAnest pas ouverte.
2. Une équation aux dérivées partielles. 1 3 a.Lapplication': (x; y; z)7!(u; v; w) = (xy; yz; z)est unC-di¤éomorphisme deRsur 1 lui-même. Cest en e¤et une application linéaire (donc de classeC) de déterminant 0 1 11 0 @ A det 0111 =6= 0, 0 01
1 donc inversible, et son inverse est encore de classeC. [Variante: en résolvant un système triangulaire déquations linéaires on a immédiatement 8 8 <u=xy<x=u+v+w v=yz()y=v+w, : : w=z z=w
1 3 ce qui montre que'est une bijectionCdeRsur lui-même, dont linverse est aussi de classe 1 C.]
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