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Topologie et Calcul Di¤érentiel(F. Rouvière)
CORRIGÉ DE LEXAMEN DE SEPTEMBRE 2005
Septembre 05
1. Racine cubique dune matrice. a.SoitX2Eune matrice carrée quelconque. CommeIetXcommutent on a par la formule du binôme 3 23 f(I+X) = (I+X) =I+ 3X+ 3X+X. Au second membre gurent successivementI=f(I), le terme3Xlinéaire par rapport à lac-2 3 croissementXde la variable, et le resteR(X) = 3X+Xqui est dordre supérieur à1. Daprès les propriétés des normes dapplications linéaires on a 2 kR(X)k  kXk k3 +Xk donckR(X)k=kXktend vers0quandXtend vers0, autrement ditR(X) =o(kXk)et f(I+X)f(I) = 3X+o(kXk).
Ceci montre, par dénition de la di¤érentielle, que lapplicationfest di¤érentiable au pointIet que sa di¤érentielle est lapplication linéaireX7!3XdeEdans lui-même, i.e.Df(I)X= 3X. Variante.On peut aussi, si on préfère, écrireR(X) =kXk"(X)avec
1 2 3 "(X(3) =X+X)siX6= 0,"(0) = 0. kXk
On ak"(X)k  kXk k3 +Xkdonc"(X)tend vers0avecX.
11 b.Lapplicationfest de classeC(et mêmeC) sur lespaceEtout entier, puisque les éléments 3 matriciels deXsont des fonctions polynomiales (de degré3) de ceux deX. De plus lapplication 1 1 linéaireDf(I) :X7!3Xest évidemment inversible, dinverseDf(I) :X7!X. On peut 3 donc appliquer àfle théorème dinversion locale au voisinage deI. Par suite il existe un voisinage 1 ouvertVdeIdansEtel que lapplicationf, restreinte àV, soit unC-di¤éomorphisme deV sur louvertW=f(V)deE, voisinage def(I) =I. Notonsg:W!Vlapplication réciproque. On a donc 3 (X2VetY=X)()(Y2WetX=g(Y)); lapplicationgdonne une "racine cubique locale" pour les matrices carrées proches deI.
c.En particuliergest di¤érentiable enI, ce qui sécrit
g(I+X) =I+Dg(I)X+kXk"(X),
1 "(X)tend vers0avecX. OrDg(I) = (Df(I))(on retrouve cela en di¤érentiant enIla fonction composée(gf)(X) =X), doù
1 g(I+X) =I+X+kXk"(X). 3 p 3x Cest lanalogue matriciel de la formule classique1 +x+= 1+o(x)lorsquexest une variable 3 réelle.
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