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Transport de masse sur les surfaces
Ludovic Rifford
Universite´deNice-SophiaAntipolis
ColloquiumLorraindeMath´ematiques Institut Elie Cartan Nancy
LudoviciRordTransportdemasseusrelsusfrcase
napsrTadragequeMonortdnRsnadeuqitdTranspovicRioruLod
mesurable
B
Soitµ0etµ1deuxpusatropprdeabobitils`´eesuresm compactsdansRn appelle. Onapplication de transport entreµ0etµ1toute application mesurableT:RnRntelle queT]µ0=µ1eridec,a`ts µ1(B) =µ0T1(B),
Rn.
scefaursselrusessamedtr
surfrlessesuemas
´ Proble`medeMongequadratique: Etude des applications de transportT:RnRnnimisemiuiqtropˆucolentnsraettd quadratique Z
dµ0(x).
|T(x)x|2 Rn
case)µ0p.p.x(x)=rψ(xedal´rgeR.nuQdiud?Licovarul´eitpsnadtrooiRrTdrinerBedeme`roe´herLete´rohTB(ere`emserudeLebeseug,eeparrapport`alamlosbnemunoctuniterni1)9µ0SitaestranutdeecoˆourllapetpmirootnapstrdeonticalippeauqinuenuetsixeliellequeTxeψ:MRtoicnnoevnufenotcexilteisnf.Et,aitardeuqiropsauqt
hte´eLemedroe`ierBrenesssleurrtpomade
Th´ ` e (Brenier ’91) eorem Siµ0la`asumederenitnapeuparrtroptnoculembaosets Lebesgue, il existe une unique application de transport optimalepourlecoˆutdetransportquadratique.Enfait,il existe une fonction convexeψ:MRtelle que
´ Probl`emedeMongequadratique des applications: Etude de transportT:RnRnuqnimitrtnapsroecoˆutdeimisentl quadratique ZRn |T(x)x|2dµ0(x).
s
T(x) =rψ(x)µ0p.p. xRn.
russecafrit´e?Luar´egularoTdarsnodivRcileddiuQ
vicRLudofaurssleuresssmaedtropsnarTdroisce
Th´eor`eme(Brenier91) Siµ0aprrpaoptra`easlteambsolumentcontinueresude Lebesgue, il existe une unique application de transport optimalepourlecoˆutdetransportquadratique.Enfait,il existe une fonction convexeψ:MRtelle que
´ Probl`emedeMongequadratique des applications: Etude de transportT:RnRnoˆuttlecanspdetruqmisinenimitro quadratique ZRn |T(x)x|2dµ0(x).
T(x) =rψ(x)µ0p.p. xRn.
Quiddelare´gularit´e?
rrBedeineroe´eme`thLe
Contre-exemple
trivial
Ludovic
Rifford
Transp
ort
de
masse
sur
les
surfaces
ilrilaedt´aeCelar´hoeirdelerae´ugTodiv.euLasriceseportransordTcRitixevnocaLn´steeblcilade´eelrurussamedsesscefa
The´ore`me(Caarelli90s) SoitΩ0,Ω1edsexennocse´nrtsbouverdesoRnet f0,f1des densit´esdeprobabilit´esurΩ0etΩ1telles que f0,f1,1/f0et 1/f1rnboies´.Sentsoµ0etµ1urpontoe´tisnedfs0et f1par rapport`alamesuredeLebesgueetsiΩ1est convexe, alors le transport optimal quadratique entreµ0etµ1est continu.
s