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UNE INTRODUCTION AUX INVARIANTS DE CHERN–SIMONS ´ ¨ GWENAEL Resume´. Cettenote,informelleetimpr´ecise,accompagneunexpos´edonne´le30jan-´ vier 2008 au « Seminaire G3 » a`Strasbourg.Nouspre´sentonslarticleou`Chernet ´ Simonsintroduisentlesformesetlesinvariantsquiportentde´sormaisleursnoms.
` Table des matieres 1. Introduction 2.Rappelssurlesclassescaract´eristiques 2.1.Varie´t´esdeStiefelcomplexes 2.2. Classes de Chern 2.3. Classes de Pontrjagin 3.Rappelssurlath´eoriedeChernWeil 3.1. Connexion et courbure 3.2.Conventionspourlesproduitsext´erieurs 3.3.Polynoˆmesinvariants 3.4. L’homomorphisme de Weil 3.5.Classescaract´eristiquesetcourbure 4. Formes de Chern–Simons 4.1.De´nition 4.2.Quelquespropri´et´es 4.3.Inte´gralit´e 5.Applicationsa`lage´om´etrieriemannienne 5.1. Rappels sur les connexions riemanniennes 5.2. Invariance conforme 5.3. Immersion conforme dans les espaces euclidiens 6. Invariants de Chern–Simons 6.1. Rappels sur l’espace des connexions 6.2. La fonctionnelle de Chern–Simons 6.3. Le cas SU(2) en dimension 3 6.4. Le cas SO(3) en dimension 3 6.5.Uninvariantdesvari´et´esriemanniennesdedimension3 R´efe´rences
1 2 2 3 3 3 4 5 5 6 7 9 9 10 11 12 12 13 13 14 14 14 15 16 17 17
1. Introduction Soit M une3-vari´ete´lisseferme´eorient´eeetsoit A Ω 1 ( M ; su (2)), une 1-forme sur M `avaleursdans su (2). On pose (1.1) CS( A ):=81 π 2 Z M Tr d A A +23 A A A R . 1
2 Onpeutinterpr´eter A comme une connexion ω surunSU(2)-bre´principalau-dessus de M ,sitoˆtquonatrivialis´ecelui-ci.Linvariant de Chern–Simons de ω est CS( ω ) := { CS( A ) } ∈ R / Z etnede´pendpasduchoixdelatrivialisation. Cetinvariantjoueunroˆleimportantentopologiededimension3:ilestfondamental danslade´nitiondelhomologiedesinstantonsparFloer[4](cf.expos´edAlex?)ou, encore, dans la « d´enition » des invariants quantiques de Witten [12]. Leur calcul met en jeulavarie´te´descaract`eresdunevarie´te´dedimensiontrois[6](cf.expose´deFranc¸ois?). N´eanmoins,cetinvariantapparaıˆtdanslarticleoriginaldeChernetSimons[2]dans uncontextebeaucoupplusg´en´eralavec,`alaclef,quelquesre´sultatsg´eom´etriques.Nous aimerionsexpliquercetteg´en´eralit´eetcomprendre,notamment,commentlinvariantde ChernSimonssurgitdelath´eoriedeChernWeil.Alandecettenote,nousrevenons `aladimensiontroisetretrouvonslaformule(1.1). Danslasuite,nousnousplac¸onsdanslacat´egorielisse.Toutevari´et´eestsuppos´ee compacte et sans bord.
2. Rappelssurlesclassescaract´eristiques Onrappellebrie`vementlad´enitiondesclassesdeCherndunbre´vectorielcomplexe, aveclepointdevuedelathe´oriedobstruction[11].Viennentensuitelesclassesde Pontrjagin.
2.1. Vari´et´esdeStiefelcomplexes. Soit k = 1  . . .  n et soit V k ( C n ) la varie´te´de Stiefel des k -repe`resunitairesdans C n : V k ( C n ) = { A Mat n × k ( C ) : A A = I k } . Soit ( e 1  . . .  e n ) la base canonique de C n .Onaledie´omorphisme ( { U A ( n } ) / U( n k ) 7= ( VA k ( C e n 1 )  . . .  A e k ) o`uU( n k ) est vu comme sous-groupe de U( n )parstabilisation`agauche: A 7→ I k A . Lespremiersgroupesdhomotopienon-triviauxdesvarie´t´esdeStiefelsontbienconnus: Lemme 2.1. Lavari´ete´deStiefel V k ( C n ) est connexe par arcs, et on a π i ( V k ( C n )) = 0 si i < 2 n 2 k + 1 Z si i = 2 n 2 k + 1 . Aproposdelad´emonstration. Cecised´emontre`apartirdelasuitelongueenhomotopie induiteparlebr´e S 2 n 2 k +1 / / / / V k ( C n ) oubliduteu / / r / / V k 1 ( C n ) . dernier vec Sabredonneleg´ene´rateurde π 2 n 2 k +1 ( V k ( C n )). Consulter [11, § 25].
3 2.2. Classes de Chern. Soit ξ unbr´evectorielcomplexededimension n sur un CW-complexe : C n / / / / ξ / / / / B . On choisit sur ξ unem´etriquehermitienne,cequinousautorise`aconside´rerlebre´ V k ( ξ ) de ses k -repe`resunitaires: V k ( C n ) / / / / V k ( ξ ) / / / / B. Dapr`esleLemme2.1,onpeutconstruireunesectionde V k ( ξ ) sur le (2 n 2 k + 1)-squelette de B , mais on trouve dans H 2 n 2 k +2 B ; π 2 n 2 k +1 ( V k ( ξ )) uneobstructionpour´etendrecettesectionau(2 n 2 k +2)-squelette.Ici,lebr´ede coefficients π 2 n 2 k +1 ( V k ( ξ )) est trivial puisque le groupe structurel U( n ) de V k ( ξ ) est connexe. Nous notons c n k +1 ( ξ ) H 2 n 2 k +2 ( B ; Z ) cette obstruction primaire. De´nition 2.2 . La i -e`meclassedeChern de ξ est c i ( ξ ) H 2 i ( B ; Z ) avec i = 1  . . .  n . LesclassesdeChernnede´pendentpasduchoixdelame´triquehermitiennepuisque, parleproce´d´edeGramSchmidt,GL( n ; C )ser´etracteparde´formationa`U( n ). Proposition 2.3. Soit ξ fib ´ ectoriel complexe de dimension n et de base B . Il un re v existe k sectionsline´airementinde´pendantesde ξ d´eniessurle (2 n 2 k + 2) -squelette de B si, et seulement si, on a c n k +1 ( ξ ) = 0 H 2 n 2 k +2 ( B ; Z ) . De´monstration. Cestlade´nitionmˆemedesclassesdeChernquenousavonsadopte´e dans cette note. 2.3. Classes de Pontrjagin. Soit ξ unbre´vectorielre´eldedimension n sur un CW-complexe : R n / / / / ξ / / / / B . Nous notons ξ C soncomplexi´e. D´enition 2.4 . La i -e`meclassedePontrjagin de ξ est p i ( ξ ) := ( 1) i c 2 i ( ξ C ) H 4 i ( B ; Z ) avec i = 1  . . .  [ n/ 2]. Remarque 2.5 . Soit r : H ( B ; Z ) H ( B ; R )lhomomorphismecanonique.Lesre´sultats de § 3 entraˆıneront que r ( c 2 i +1 ( ξ C )) = 0 pour tout i 0. 3. Rappelssurlath´eoriedeChernWeil Lath´eoriedeChernWeildonneunedescriptiong´eom´etriquedecertainesclasses caracteristiqueslorsquelabasedubr´eestunevarie´t´eetquelebre´est´equipe´dune ´ connexion. On pourra consulter [7, § II]pourlath´eoriedesconnexionset[7, § XII] pour lathe´oriedeChernWeil.Dautresre´f´erencespossiblessont[8,AppendixC]et[9]. Dans la suite, G est un groupe de Lie et g estsonalge`bredeLie.OnnoteAd g : g g , l’action adjointe de g G .