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UNE INTRODUCTION AUX INVARIANTS DE CHERN–SIMONS ´ ¨ GWENAEL Resume´. Cettenote,informelleetimpr´ecise,accompagneunexpos´edonne´le30jan-´ vier 2008 au « Seminaire G3 » a`Strasbourg.Nouspre´sentonslarticleou`Chernet ´ Simonsintroduisentlesformesetlesinvariantsquiportentde´sormaisleursnoms.
` Table des matieres 1. Introduction 2.Rappelssurlesclassescaract´eristiques 2.1.Varie´t´esdeStiefelcomplexes 2.2. Classes de Chern 2.3. Classes de Pontrjagin 3.Rappelssurlath´eoriedeChernWeil 3.1. Connexion et courbure 3.2.Conventionspourlesproduitsext´erieurs 3.3.Polynoˆmesinvariants 3.4. L’homomorphisme de Weil 3.5.Classescaract´eristiquesetcourbure 4. Formes de Chern–Simons 4.1.De´nition 4.2.Quelquespropri´et´es 4.3.Inte´gralit´e 5.Applicationsa`lage´om´etrieriemannienne 5.1. Rappels sur les connexions riemanniennes 5.2. Invariance conforme 5.3. Immersion conforme dans les espaces euclidiens 6. Invariants de Chern–Simons 6.1. Rappels sur l’espace des connexions 6.2. La fonctionnelle de Chern–Simons 6.3. Le cas SU(2) en dimension 3 6.4. Le cas SO(3) en dimension 3 6.5.Uninvariantdesvari´et´esriemanniennesdedimension3 R´efe´rences
1 2 2 3 3 3 4 5 5 6 7 9 9 10 11 12 12 13 13 14 14 14 15 16 17 17
1. Introduction Soit M une3-vari´ete´lisseferme´eorient´eeetsoit A Ω 1 ( M ; su (2)), une 1-forme sur M `avaleursdans su (2). On pose (1.1) CS( A ):=81 π 2 Z M Tr d A A +23 A A A R . 1