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Universit´edeNice D´epartementdeMath´ematiques
Ann´ee2011-2012 Syst`emesDynamiques
Cours6:Dynamiquesdepopulationsstructure´esenages
Lemod`elepr´esent´eiciestdˆu`aSirPaulLeslie(1945)etilestlundesplusutilis´eendynamiquedes populationsetende´mographie.Ilsupposequelapopulatione´tudi´eeestconstitu´eedeplusieursgroupes dindividusa`desstadesdie´rentsouclassesdagesdi´erentes(oeufs,oisillons,oiseaux,parexempleou biengraines,rosettes,planteseneurs,etc...).Leseectifsdechacunedesclasses´evoluentdefac¸ons di´erentesmaispasind´ependemmentlesunesdesautres.Onva´etudierladynamiquedecetypede mod`eleetnotammentcherchera`re´pondreauxdeuxquestionssuivantes: 1.leectiftotal,sommedeseectifsdesdie´rentesclasses,a-t-ilunecroissanceexponentielleavecun taux de croissance constant, et dans ce cas, comment calculer ce taux? 2.Lar´epartitiondesindividusdanslesdie´rentesclasses,ladistribution initiale, se maintient-elle au coursdutempsoubiensemodie-t-elleetdequellefac¸on?
Exemple :Pour commencer examinons un exemple. Il s’agit d’une population de rongeurs ayant un cycledereproductionde3ans.Onneconsid`ereiciquelasouspopulationforme´edesindividusfemelles. Onsupposequechaquefemelledonneenmoyennenaissancea`6femellesdurantsadeuxi`emeanne´eeta` 10femellesdurantsatroisie`meanne´e.Cependant,seulunrongeursurdeuxsurvitaudeladesapremi`ere anne´eetseul40%deceuxquisurviventladeuxi`emeann´eesurvivrontjusqu`alatroisie`meanne´e. Silond´esignerespectivementparjt,ptetatl`astintanselceesfittsfdes,desfemellesmeleeljsvue´inel pre´adultes(rongeursde1an)etdesfemellesadultes(rongeursde2ans),lesinformationspr´ece´dentes peuventse´crire: jt+1= 6pt+ 10at pt+1= 0,5jt(1) at+1= 0,4pt Cesformules(1)permettent,a`partirdeseectifsinitiauxdestroisclasses,(j0, p0, a0), de calculer les effectifs (j1, p1, a1lnitsnastiuavtn`a)t= 1, puis, (j2, p2, a2`)ilaatsntnt= 2 et ainsi de suite. Si l’on de´signeparNt=jt+pt+atnitsa`litnoupallapoaldeftotectieltant(et doncN0l’effectif initial), on peut´egalementcalculera`partirde(1)lestermessuccessifsdelasuite(Ntr´ehdaprendec,qe)mrteiuep aussiladynamiquedecettepopulationdanssonensemble.Pouravoiruneid´eedutauxdecroissancede jt1pt1at1 chacune des classes, on peut calculer les quotients, et pourt= 0,1,2, ...slaimtaltsu´eer jtptat esttr`esirre´gulieretonvoitmalsurcespremierstermesqueltauxdecroissanceonpourraitretenirpour rendrecomptedeladynamiquedecesdie´rentesclassesdage.Etsilonconside`relapopulationdans Nt+1 sonensemble,lesquotientsnesontpasplusre´guliers. Nt Parcontresionlaisseletempsaugmenter,onconstatequecestauxtendenttousverslamˆemevaleur λ, iciλncteenslte-m`ea=2,nuse`rpauqerid-ad,lpsemntairtcedie´ocsnqieunymasimpisteconsr´ee unemultiplicationparunfacteur2deseectifsdechaqueclassedunep´eriode`alasuivante.Cefacteur multiplicatif,quicorresponda`untaux de croissance asymptotiqueemmcontmeleciafe´luclacerteˆtpeu nous allons le voir. Silonsint´eressemaintenantnonplusa`ladynamiquedeseectifsmaisa`le´volutionaucours dutempsdelar´epartitiondesindividusentrelesdiversesclasses,onpeutaussicalculer,`apartirde lare´partitioninitialedesindividusseloncestroisclassesv0= (j0/N0, p0/N0, a0/N0ve´tulondiol)e cetter´epartitionaucoursdutempsvt= (jt/Nt, pt/Nt, at/Ntc,teet´rtstaqeeu).Onconteonndareptiti versunere´partitionasymptotiquequiestcelleduvecteurv= (100,25,aptrtioine´ralerid-a`-tsec),5 100 255 (, ,)'(0.77,0.192,0.relanoutri´epropitucpnraereaile`ramere´telbauqttCe´eerrtpaioit0.)83 130 130 130 que,surunepopulationinitialer´epartiedecettefac¸on,ladynamiqueestexactementlecomportement asymptotiqueindique´plushaut,`asavoirunemultiplicationdeseectifspar2.
1Lemod`eledeLeslie Onpeut´ecrirelemod`elepr´ec´edentenutilisantunenotation matriciellefa¸adleiuavocsnnte:     jt+1100 6jt     pt+1= 0,5 00pt at+10 0,4 0at
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