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Universit´edeNice 2009-10
SL2M Alg`ebre2
Espaceseuclidiens,orthogonalit´e,longueur. Moindrescarre´s. On travaille avec lecorpson´teed,slee´rsR. Pour tout entier naturelnleresnesnoce`di,onlemb n n desnno´deulleqsree´rnepaesigpl-usdetRtneme´le´nu,iains:~xdeRest unefamille de 0 r´eels(x1, x2, . . . , xn). Noter queR.0etoe,idevllnnoelque´´lmene,talafimnecontientquun 1 L’ensembleRam`eserne`aR. n On appelle souvent~xunvecteurstlactruener`acerne´fe´rielsurcaveceotrudeepsR. (Voir 10.1 pourlade´nitiondecettestructure).
n 1.Produit scalaire dansR. n ´ Etantdonn´esdeuxvecteurs~xety~deRsionnc,oenelerd`e´rerbmole n X x1y1+. . .+xnyn=xiyi i=1 que l’on appelleproduit scalairede~xety~et que l’on noteh~x|y~ivne´O.seltneilemsfactr`erie 0 0n proprie´t´essuivantes:pourtous~x,~x,~x”,~y,~y,~y” deR, pour toutλalacrerisel´ena,o (1)iae´nilieralLscriotedputbesreai 0 00 0 00 h~x+~x|~yi=h~x|~yi+h~x|~yi 0 00 0 00 h~x|y~+~yi=h~x|~yi+h~x|y~i hλx~|~yi=λh~x|~yi h~x|y~λi=λh~x|~yi (2).ueiqtr´eymtseLserialacstiudorpe h~x|y~i=hy~|~xi (3)alaiitscroduLep.ifpintisoseere´dt h~x|~xi ≥0 et h~x|~xi== 0 ~x= 0. Latroisi`emepropri´et´epermetded´enirlanorme euclidienned’un vecteur (on peut dire aussi sa longueur) par la formule p k~xk:=h~x|~xi Cettemˆemeproprie´te´montrequelanormedunvecteurestnullesietseulementsilevecteurest nul. Pour toutλ´ran:eeol kλ~xk=|λ| k~xk. n 1.1.`roe´hTemehwScz)are´nI(edt´ligay-chaueC.: Pour~xety~vecteurs deRon a |h~x|~yi| ≤ k~xkky~k avec´egalit´esietseulementsi~xety~niloctnosres.´eai