7 jours d'essai offerts
Cet ouvrage et des milliers d'autres sont disponibles en abonnement pour 8,99€/mois

Publications similaires

Universit´edeNice 2009-10
Matricessyme´triquesr´eelles.
SL2M Alg`ebre2
4.Calcul matriciel 4.1.tairecyseea`numee.m´etriqucitapAlpinilnbiosyreai´euqirte´m´icossaeOnconse`dier n une matriceequm´syrietAdansMn(R). On appelleBla base canonique (e1, . . . , en) deR. ` n n (1)Aunetellematriceestassoci´eeuneapplicationlin´eairefdeRdansR. Si~xest un n vecteur deR, on noteXcecirtamedennololaeubasanalsnoqicenaoordsesceesdonn´ B. Le produit de matricesAXest une matrice colonne qui est la matrice dans la base n canoniqueBd’un vecteury~deR. Ce vecteur est l’image de~xparf. n n ` (2)Aunetellematriceestassocie´euneapplicationbiline´airesyme´triquedeR×RdansR. n Onconsid`eredeuxvecteurs~xet~ydeRde matrices respectivesXetYdans la baseB. t Le produit de matricesY A Xest une matrice 1×c1,riuerne´se-ta`d-quonsqueel.Remar cer´eelestleproduitscalaireh~y|f(~x)i. On noteraφl’application n n φ:R×R−→R (~x,~y)h7~y|f(~x)i. On note que, puisqueA´mysirte,euqste t t t t Y A X=X A Y=XA Y. On a doncφ(~,xy~) =φ(x~y,~), soit encoreh~y|f(~x)i=hf(y~)|~xi. Espace vectoriel euclidienEDans la baseB ~xX y~Y f:E−→E Aictrarec´reeman×n y~=f(~x)Y=AX t t h~x|y~i=h~y|~xiY X=XY t t t t h~y|f(~x)i=hf(~x)|~yiY A X= (AX)Y=X A Y
5.uestriqym´eressniliiae´roFbsem Danscettesectionone´tudielesapplicationsbiline´airessyme´triques φ:E×E−→R (~u,~v)7φ(~v~,u). o`uEest un espace vectoriel surRC.tlsemoemdarpaceeeesriv´Ron appelle une telle application formebilin´eairesyme´trique. 5.1.Lemme.eirean´liacitnoibnuaeppilnsid`ereOncoφcomme ci-dessus qui est de pluspositive, cest-a`-dire v~E φ(,v~v~)0. L’ensemble des vecteurs~vdeEtels queφ(~v~,v) = 0est unsous-espace vectorieldeE. C’est aussi le sous-ensemble {v~E| ∀~wE φ(w~v,~) = 0}