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MAT432:ContrˆoleClassant du 13 Novembre 2003 Unecopieou`undesproble`mesouexercicesesttraite´ a`fondauraunemeilleurenotequunecopiequinetraite quelesquestionslesplusfacilesdechaqueprobl`emeou exercice.Lesr´efe´rencesaucourssontadmises,maisde-vrontˆetrepr´ecises
Exercice I :vnocegreeecnlactMtronlaereculerlint´egral suivante : Z +log(x) I =dx. 4 (1 +x) 0
2 2 Exercice II :etonnO´eseΓlerauZdeRetfune 2 fonction deLe)vrn´.Onsiolidunseltato(cevaceirstno Γ d´eveloppementdeFouriersouslaforme: X 2(mx+ny) f(x, y) =amne . 2 (m,n)Z P 1 1)Montrerquelas´erie22 2converge. (m,n)6=(0,0) (m+n) P 2 22 2 2)End´eduireque,si2(m+n)|amn|<+, (m,n)Z alorsfest continue (indication :on adaptera une preuve faite en cours dans le cas unidimensionnel).
Exercice III :ocnOetrura´eoplre`eidnsAnsirude´ 2 L(R) par : 2 fL(R), A(f) =af 1 ou`asefaltn´epariectonndioa(x) =2. 1+x 1) Montrer queAa-jduaot.iotnteur´erainuecontponutse 1