Chapitre CONTINUITE THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES

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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Chapitre 2 CONTINUITE, THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES Terminale S I – Compléments sur la dérivation 1) Rappels Propriété : Soit f une fonction dérivable sur D et . La tangente à Cf au point ; est la droite T passant par A qui a pour coefficient directeur …………….. Une équation est : ………………………………………………………… Remarque : Localement, on peut approximer f par la fonction affine représentée par T. ……………………………….. pour voisin de a. Ou en écrivant , …………………………………. pour h voisin de …… On dit alors que ………………………………………. est …………. ………………………………... de pour h voisin de ……… En physique, on écrit souvent ∆ ∆ pour exprimer cette approximation. ∆ représente………………………. et ∆ …………………………… ∆ est parfois remplacer par ∆. Complément : ………………………. avec ………………………….. est appelé le développement limité à l'ordre 1 de f en a. 2) Règles de calculs Propriété : u et v sont deux fonctions dérivables sur D et k est un réel. Alors , , et sont dérivables sur D et : ……………… ………………… …………………….. …………………. Si, de plus, v ne s'annule pas sur D, alors et sont dérivables sur D et : ………………… …………………………….. fonction dérivée Conditions (constante) 1 , n entier relatif non nul √ sin cos | |

• extremum local


• …………………


• rappels propriété


• théorèmes sur les opérations sur les limites


• réservoir


• parallélépipède rectangle de hauteur


• hypothèses du théorème


• ……………… …………………

Sujets

• Première
• Mathématiques
• Extremum
• Réservoir

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• Publié par: Ecole-pour-tous
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• Langue: Français

Extrait

CONTINUITE, THEOREME DES VALEURS Chapitre 2 Terminale S INTERMEDIAIRES I – Compléments sur la dérivation 1) Rappels Propriété :Soitfune fonction dérivable sur D et  . La tangente à C f au point ;  est la droite T passant par A qui a pour coefficient directeur …………….. Une équation est : ………………………………………………………… Remarque :Localement, on peut approximerfpar la fonction affine représentée par T.   ……………………………….. pourvoisin dea. Ou en écrivant    ,    …………………………………. pourhvoisin de …… On dit alors que ………………………………………. est …………. ………………………………... de  pourhvoisin de ………  En physique, on écrit souvent∆   ∆pour exprimer cette approximation. ∆représente………………………. et∆…………………………… ∆est parfois remplacer par∆. Complément :   ……………………….avec ………………………….. est appelé le développement limité à l’ordre 1 defena. 2) Règles de calculs Propriété :uetvsont deux fonctions dérivables sur D etkest un réel. Alors  ,  ,etsont dérivables sur D et :       ………………    …………………   ……………………..    ………………….   Si, de plus,vne s’annule pas sur Det sont , alors dérivables sur D et :         …………………  ……………………………..   fonction dérivée Conditions   (constante)    1      ,nentier relatif non nul   √   sin    cos    ||

Théorème : gest une fonction dérivable sur D’,uest une fonction dérivable sur D et pour tout  ,  %. Alors la fonctionfdéfinie par   &'( est ………………….. sur………….. et pour tout  ,     * … … … … … … … … … .. Démonstration : / Il s’agit de montrer qu’en tout pointade D, la fonctiontdéfinie par -  a pour limite enale / nombre …………………………………………….. ère Remarque :S (lorsque les hypothèses du théorème sont satisfaites) :On retrouve la formule admise en 1  Si &     , alors &   ………………………………. Exemples :Après avoir justifié la dérivabilité des fonctions, calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : 3  / 45/45 5 5 a)    b)cos  &    c)    d) 7  cos 3 3 / 4/4 6/ 4/

Théorème :uest une fonctionstrictement positiveet dérivable sur D. Alors la fonctionfdéfinie par   8 est …………………………………..et pour toutde D,     * … … … … … .. Démonstration : Théorème :uest une fonction dérivable sur D etnest unentier relatifnon nul.  1) Si9 : 1, la fonctionfdéfinie par   < est …………………………………et pour toutde D,     * … … … … … … … …  2) Si9 = 1et si la fonctionune ………………………….., alors la fonctiongdéfinie par &  < est ………………………………….et pour toutde D,  &   * … … … … … … … … Exemples :Dans chacun des cas, déterminer la fonction dérivée def.   a)   >  b)   3 3 ? /  46/ / …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. Définition :fest une fonction dérivable sur D. Sa fonction dérivée%s’appelle fonctiondérivée première(ou ………………..) def. 5 Lorsquef’est dérivable sur D, sa fonction dérivée est notée%%(ou parfois) ;%%est appelée ……………. ………………….(ou ……………………) def. Par itération, pour tout entiernaturel9 : 2, on définit la fonction …………………………(ou ……………..) comme étant la fonction dérivée de la fonction d’ordre9  1.  Pour tout9 : 2,  * … … … 3) Dérivation et sens de variations Théorème :Soitfune fonction dérivable sur unintervalleI inclus dans son ensemble de définition. • Si% A 0sur I, sauf peut-être en un nombre ……………………………….où%s’annule, alorsfest ……….. ……………………………………………………………..  • Si C 0sur I, sauf peut-être en un nombre ……………………………….où%s’annule, alorsfest ……….. ……………………………………………………………..  • Siest nulle sur I, alorsfest …………………………………………………

Définition : festunefonctiondéfiniesuruninterv lleIetcun point de I. Dire queDest unmaximum local efencsignifie qu’il existe un intervalle ouvert J, contenantctelque,pourtoutde J, ………………………….. Defaçonanalogue,ondéfinitunmini umlocal(Gsur la figure). Unextremum localest…………… ……………………………………… Théorème :festunefonctiondérivablesurunintervalleouvertI,cestunpointdeI. 1) SiDestunextremumlocal,alors………………………. 2) Si%…………………..enchangean …………………..,alorsDestunextrem mlocal. Exercice : On considère un réservoir fermé en tôlayantlaformed’unparallélépipèderectangledehauteuret dont la base est un carré de côté,   <0;   (l’unité est le mètre). 1)Exprimerlasurfacedetôleduréser oir,notéeF, et le volume du réservoir, no en fonction deet. J 2)Onsupposequeleréservoiraunec pacitéde1I. 5 a) Exprimeren fonction de. K 5 b) En déduire que l’expression deFenfonctiondeest F  2 . / 3 /'/ 4/4(  c) Montrer queFest dérivable sur <0; ∞ et que, pour tout ∞  <0; , F   . 3 / d) Etudier les variations deFsur <0;  et en déduire la valeur de ourquelas rfacedetôlesoitminimale.

II – Notion de continuité, TVI Dans ce paragraphe,fdésigne une fonction définie sur un intervalle I deL. 1) Fonctions continues Définitions :• Dire quefestcontinue en un pointade I signifie quefadmet une limite enaet que cette   limite est ………………. On a donclim /O …………. • Dire quefestcontinue sur l’intervalle Isignifie quefest ………………………………………………….. Conséquence :Il résulte de cette définition et des théorèmes sur les opérations sur les limites que lasomme, le produitet lacomposéede fonctions continues sont ………………….. Remarque :Il existe des fonctions non continues. • Voici quatre exemples. Indiquer ce qui dans la définition n’est pas vérifié.

……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. • Un autre exemple fondamental est la fonction ………………………..

Théorème :• Sifestdérivable ena, alorsfest ………………………………….. • Sifestdérivable sur I, alorsfest ……………………………………………….. Démonstration.

Conséquences : • Les fonctionspolynômessont…… ..………………………..Ellessontdonc……………………............... • Les fonctionsrationnellessont…… ………………………………………………………………………… ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. • Les fonctionssinusetcosinus…… …………………………………………… …………………………... • La fonctionracine carréeest…… …………………………………………… …………………………… ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. •Touteslesfonctionsconstruitespars mme,produit,quotient,compositiondeusuelles sont ……….fon tions surtoutintervalleinclusdansleur… ……………………………………… Remarque :Ilexistedesfonctionscon inuesmaisnondérivables.Parexemplel nction …………………. ……………………………………… ………………………………………… ………………………….. La fonctionvaleur absolueest………………………………………………… …………………………… ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. 2)Fonctionscontinuesetrésolution’équations Théorèmedesvaleurs:intermédiaire (admis) Soitfune fonctioncontinuesurnintervalle ; < . Alors, pour tout réelycompris entre et, il existeau moinsun réelcentraetbtel que : ……………………. Remarque :Supposons que =  . Lethéorèmepeuts’énoncerdeplusieu sfaçons équivalentes : • pour toutydans l’intervalle ;  < , l’équation ……………d’inconnue a…………………………………… ……………………………………. • tout réelyde l’intervalle ;  est l’image ………………………… ………………………………… ………………………………………

Si on notePl’ensemble des imagesde tous les nombresdeI,ceténoncéeutencore se traduite par : L’intervalle ; < estinclusda s………………… Vocabulaire :L’ensemblePestap elé……………………………….. Lethéorèmesuivantesténoncépouru efonctionstrictementcroissante.Leanalogue pour unerésulta est fonction strictementdécroissante.Ilsu fitderemplacer ; < par ; < Théorème :Sifest une fonctionconti uestrictementcroissantesurl’intervalleI= ; < , alors : • l’image de I parfest……………… …………………… • pour toutydans ; < ,l’équa ion    , d’inconnue,a…………… …………………………

Démonstration

Cas particulier :Sifestcontinueetstr ctementcroissantesurI= ; < et siC 0   (c’est-à-dire …… ……………………………………… ………),alorsl’équation………………… …………………………. ……………………………………… ………………………………………… J 5 Exemple :fest la fonction définie sur 0; ∞ par     1  2. Démontrer que l’équation   0 a metuneuniquesolutionRdans 0; 1< etdon erunencadrementdeR  d’amplitude10. ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. Extension du théorème : Lorsquefestunefonctioncontinueettrictementmonotone,lerésultatduthéorèmprécédents’étendàun intervalle Iquelconque. L’image d’un intervalle I parfestre unintervalleJetpourtoutréelydeJ,l’éq ation    , d’inconnue, a………………… ………………………………….. Exemple :Lafonctioninverseestcont nue et strictement décroissante sur <0; ∞ . L’image de <0; ∞  arlafonctionin erseest……………………………… Donc, pour tout réelyde…………… ………,l’équation……………………… …………………………… ……………………………………… …………………………………………… …………………………... Définitions :festunefonctioncontin eetstrictementmonotonesurunintervalleIquelconque. PosonsQ  P.Jestunintervalle.A ors, • pour tout réeldans I,estdans…………….. • pour tout réelydansJ,ilexiste…… ………………………………….telque    . Lorsquecesdeuxconditionssontréun es,onditquefestune……………………dIsurJ. On peut alors définir une fonctiongsuJdelafaçonsuivante : Pour toutyde J, on note&le réeltel que    . Ainsi    et&= ……… Onditquel’onadéfinisurJ,lafoncti n……………………..def. S / 5 Exemple :Déterminerunevaleurappr chéeà10 rèsdeséventuellessolutionsdl’équation 1. 3 J/ 4T ……………………………………… …………………………………………… …………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………

3) Fonctions continues et suites   Propriété :fest une fonction définie sur un intervalle I ;  est une suite dont tous les termes appartiennent à I.best un réel. im       Sil    etsifestcontinue en b, alors la suite  définie par   …………………………… O4U …………………………………………………………………………………………………………………….. Exemple :      Déterminer la limite de la suite  définie par  >2 .  ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... Propriété :  Soitfune fonction définie sur un intervalle I et  une suite vérifiant : 9  V   P    - Pour tout ,  et 4  .   W  P - Si  etconverge vers sifestcontinueenl, alorslvérifie ………………………………………. Exemple :  X et 4   1, pour tout entier naturel9. Soit la suite   définie par :2     2  R a) Si   converge, quelle est la limite possible ?       1 9 b) Montrer que la suite  définie par   , est géométrique., pour tout entier naturel  9  c) En déduire l’expression de  en fonction de , ainsi que la limite de la suite    .