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Correction du bac blanc de mars I

4 pages
Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Correction du bac blanc de mars 2012 I 1 2 ?1 ?2 1 2?1?2 b O b A b B b C b D bE b F b G 1. (a) ?2 ?4? = ( 1+ i p 3 )2 ?4 ( 1+ i p 3 ) = 1?3+2i p 3?4? 4i p 3=?6?2i p 3 2?? 8 = 2 ( 1? ip3 ) ? 8 = ?6? 2ip3 = ?2 ? 4?, donc ?2?4?= 2??8 (b) Le cercle C est l'ensemble des points M tels que OM = O A = 2 c'est-à-dire |z ? z0| = O A = 2OB = |zB ? z0| = |?| = √ 12+ (p3 )2 = 2, donc B ?C . De même : OC = |zC ? z0| = ? ?? ? ? = |?| = 2, donc C ?C (a) On trace le cercle de centre D et de rayon 2, il coupe le cercle C en deux points, E est le point tel que ODE est un triangle équilatéral direct. (b) La rotation de centre O et d'angle pi3 a pour écriture complexe z ?? zO = e i pi 3 (z ? zO) c'est-à-dire z ? =

  • équation ex2?

  • valeurstrictement positive de u0 ?

  • ex ?

  • zf ?2

  • ?? ex ?

  • e?1 e?1


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Correctiondubacblancdemars2012
µ ¶2 i? 2? ?4?I 2?e ?? ?4?i??e ?
2 2?
2 i? i???2e ?4 ??2e ?4¡ ¢B i?F 1? e ???4 ?
D ? ¡ ¢ ? , car d’après 1 a) : ??4 ?
i?2 ??2e ?4 2
2? ?4?
.
21
z ?2 ?G
Parconséquent: ?
z ?2 2F
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯z ?2 z ?z AG ? j?j 2G G A ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯(e) ? ? ?¯ ¯? ? ?1; donc¯ ¯ ¯ ¯O A z ?2 z ?z AF 2 2 2F F A
?2 ?1 1 2 AG?AF
µ ¶³ ´ ³ ´E z ?2 ? ??! ?! G
AF ; AG ?arg ?arg ?arg(?)? (car
z ?2 2 3F
?
iG 3??2e ).LetriangleAFGadeuxcôtésdemêmelon-?1
?
gueuretunanglede ,doncilestéquilatéral.
3
pC 22. Ona: AF ?4?3cos?? 3sin?.
Les variations de la fonction f définie par f(x) ? 4??2 p
3cosx? 3sinx sur[??; ?]sont:
³ ´ ³ ´p p p22 ? 5?
1. (a) ? ?4?? 1?i 3 ?4 1?i 3 ?1?3?2i 3?4? x ?? ? ?
p p 6 6p
4i 3??6?2i 3³ ´p p 7 4?2 3
2
2??8? 2 1?i 3 ?8??6?2i 3?? ?4?, donc @ @
f @ @
2? ?4??2??8 p@R @R
4?2 3 7
(b) Le cercle C est l’ensemble des points M tels que
?OM ? OA ? 2 c’est-à-dire jz?z j ? OA ? 2OB ?0 2AF estminimum,donc AF aussipour??? etlavaleurmini-
jz ?z j 6B 0r q³ ´p 2 p
2?j?j? 1 ? 3 ?2,donc B2C . mumde AF vaut 4?2 3 .
¯ ¯ q³ ´¯ ¯ p p 2 p pDe même : OC ? jz ?z j ? ? ? j?j ? 2, doncC 0
Remarque:4?2 3? 3?1 ,donc 4?2 3? 3?1 .
C2C
(a) On trace le cercle de centre Det de rayon2, il coupe
IIle cercleCen deuxpoints, E estle point tel que ODE
estuntriangleéquilatéraldirect.
PartieA
?
(b) La rotation de centre O et d’angle a pour écriture
3
? 1. g estdérivablesurR,doncsur[0;?1[etsurcetintervalle:
i
0 0 x3complexe z ?z ?e (z?z )c’est-à-dire g (x)?e ?1 .O O
x x? e ?1? 0 () e ? 1 () x ? 0. (par croissance de la
i
0 fonctionln)3z ?e z
0
Conclusion: g (x)?0sur[0;?1[,doncla fonction g est?³ ´ i croissantesurcetintervalle.i? i?3etdoncl’imagedeD 2e estEavecz ?e ?2e ?E
2. Onag(0)?1?0?1?0.?
i
i?3 La fonction étant croissante sur [0 ; ?1[, on a, quel que2e e .
à ! à !p p ?
soit x,g(x)?g(0),donc g(x)?0 .p i1?i 3 1 3
3Or ?? 1?i 3? 2 ? 2 ?i ? 2e .
2 2 2 3. On vient de démontrer que pour tout réel de l’intervalle
i? [0;?1[,Parconséquent : z ??eE
x xg(x)?0 () e ?x?1?0 () e ?x?1 .i?z ?z ??2e ?B D i?(c) z ? ? ? ?e .F
2 2 2
PartieBi?z ?z ?e ??C E
(d) Onauraitdemême:z ? ? .G
2 2 1?1 e?1
i? 1. Ona f(0)? ?0et f(1)? ?1.?e ??
?2 1 e?1i?z ?2 ?e ???4G 2 Comme la fonction f est croissante sur [0; 1], 0?x?1)Alors : ? ? ?? i?z ?2 i? ??2e ?4F ?e ?2 f(0)? f(x)? f(1) () 0? f(x)?1 .
2
Page1/4
bbbbbbbbx x x 2e ?1 e ?1?xe ?x III
2. (a) f(x) ? x ? ? x ? ?x xe ?x e ?x
x 2 x PartieAe (1?x)?x ?1 e (1?x)?(x?1)(x?1)
? ?
x xe ?x e ?x Soitu lafonctiondéfiniesur]0;?1[par
xe (1?x)?(x?1)(1?x)
x 2e ?x u(x)?x ?2?lnx.
x(1?x)(e ?x?1) (1?x)g(x)
? ? . 1. Lafonctionu estdérivablesur]0;?1[commesommedex xe ?x e ?x
fonctionsdérivablesetpourtoutréelx strictementpositif,
(b) La position relative de la droite (D) et de la courbe 10 0u (x)?2x? .Pourtoutréel x strictementpositif, u (x)?(C)sur[0;1]estdonnéeparlesignedeladifférence x
précédente : f(x)?x. Or on a vu sur [0; 1], g(x)?0 0commesommedetermespositifs(dontl’unestnonnul),
xet e ?x? 1? 0. Comme de plus 1?x? 0, tous les lafonctionu estdoncstrictementcroissante.
¡ ¢2termes du quotient sont positifs, donc f(x)?x? 0, lim x ?2 ? ?1 et lim ln(x) ? ?1 donc
x!?1 x!?1
ce qui signifie que lacourbe(C)estaudessusdela
lim u(x)??1 .
droite(D). x!?1
¡ ¢2lim x ?2??2 et limln(x)??1donc limu(x)??1 .PartieC x!0 x!0 x!0
2. (a) La fonction u est continue sur ]0 ; ?1[, elle prend1. Voiràlafindel’exercice.
desvaleurspositives(car lim u(x)??1)etdesva-1 x!?12. Initialisation :u ? etcomme f est croissantesur [0; 1]0 leurs négatives (car limu(x)??1). Selon le théo-2
x!0, u ? f(u ?u .1 0) 0 rème des valeurs intermédiaires, la fonction u s’an-
1
Onadonc ?u ?u ?1. nule au moins une fois. Comme de plus, la fonction0 1
2
est strictement croissante, elle, ne s’annule qu’une1
Hérédité : Supposons qu’il existe p2N tel que : ?u ?p seule fois. Donc l’équation u(x)? 0 admet une so-
2
lutionuniquesur]0;?1[.u ?1.p?1 µ ¶
¡ ¢1 Onnote?cettesolution.
Parcroissancedelafonction f sur[0;1]: f ? f u ?p
2¡ ¢ (b) Àl’aidedelacalculatriceonremarquequeu(1,56)?
f u ? f(1) () u ?u ?u ?1p?1 1 p?1 p?2 0?u(1,57)donc 1,56???1,57
1 1 3. Puisque u estcroissantesur]0;?1[,pour tout x2]0; ?[,etcommeu ?u ? ,ona ?u ?u ?1 .1 0 p?1 p?2
2 2 u(x)?u(?) donc u(x)?0 et pour tout x??, u(x)?u(?)
On a donc démontré par récurrence que pour tout entier doncu(x)?0
1 2 24. u(?)?0 () ? ?2?ln(?)?0 () ln(?)?2?? .natureln, ?u ?u ?1 .n n?1
2
PartieB3. On vient de démontrer que la suite (u ) est croissante etn
elleestmajoréepar1.
On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; ?1[
Elleconvergedoncversunréel`?1. par
Or f estcontinue,donccommeu ? f (u ),`? f(`)quin?1 n· ¸
2 21 f(x)?x ?(2?lnx) .apoursolutiondansl’intervalle ; 1 lenombre1.
2 0Onnote f lafonctiondérivéede f sur]0;?1[.
Conclusion: lim u ?1 .n ?1n!?1 01. Pour tout x de ]0 ; ?1[, f (x)? 2x?2?(2?lnx)? ?
x
2 2y 2(x ?2?lnx)? u(x)
x x
1 2 02. étant toujours positif sur]0;?1[, f (x)est dusigne de
x
u(x), donc est strictement négative sur ]0 ; ?[, et stricte-
ment positive sur ]? ; ?1[ et s’annule en ?. la fonction
f est strictement décroissante sur ]0 ; ?] et strictement
croissantesur[?;?1[etatteintunminimumen?.
2 2lim x ? ?1 et lim (2 ? lnx) ? ?1 donc
x!?1 x!?1
lim f(x)??1 .
x!?1
2 2limx ?02et lim(2?lnx) ??1donc limu(x)??1 .
x!0 x!0 x!0
PartieC
³ ´!? !?
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O ; i ; j ,
onnote:
? Γlacourbereprésentativedelafonctionln(logarithme
népérien);
O u u u u x ? Alepointdecoordonnées(0; 2);0 1 2 3 1
Page2/4p p
2 2 2 2 4? M lepointdeΓd’abscissex appartenantà]0;?1[. (c) AP ? (??0) ?(2?? ?2) ? ? ?? ?
p
1. LepointAapourcoordonnées(0; 2)etlepointM(x; lnx), 2? 1?? (car??0).
donc qp 3. Pourcettequestion,toutetracederecherche,mêmeincom-
2 2AM? (x?0) ?(lnx?2) ? f(x) plète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en
q comptedansl’évaluation.
2. Soitg lafonctiondéfiniesur]0;?1[parg(x)? f(x) .
1
La tangente à Γ en P a pour coefficient directeurp
(a) La fonction étant strictement croissante sur son ?
y ?yP Aensemble de définition, et la fonction f prenant des et la droite AP a pour coefficient directeur ?q x ?xP A
2valeurs toujours positives, les fonctions f et g? f 2?? ?2
???. Le produit des deux coefficients direc-ontmêmesensdevariation.
??0
teurs donne?1, la tangente Γ en P et la droite (AP) sont(b) Lafonctiong atteintdoncsonminimumen?.Ladis-
perpendiculaires.tanceAMestdoncminimalepourx??soitaupoint
2
P(? ; ln?). Or ln??2?? donc P a pour coordon-
2
nées(?; 2?? ).
IVExercicepourlesélèvesn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité(5points)
Cetexerciceestunquestionnaireàchoixmultiple (QCM).
Pourchaquequestion,uneseuleréponseestexacte.
Lecandidatporterasursacopie,sansjustification,lenumérodelaquestionsuividelaréponsechoisie.
Questions Réponses
2 1 px ? ? 121. L’équatione ? eapoursolutions
1
?
2
? -1
1 1
? ?p etp
2 2
? -1et1
µ ¶
1 ? S ?]e;?1[
2. L’inéquationln(x)?ln ?0apoursolutions :
x ? S ?]0; 1[
? S ?]?1; 1[
? S ?]?e;?1[[]1; e[
µ ¶
25 ? R23. Lafonction f définiepar f(x)?ln x ?5x? est
?4 ? R
définiesur: ¸ · ¸ ·
5 5
? S ? ?1;? [ ? ;?1
2 2
? R\{0}
? ]5;?1[
µ ¶2x ? toujourspositif
4. Lesignedel’expression f(x)?ln est
2x ?1 ? toujoursnégatif
? dépenddusignedex
? dépenddusignedex?1
µ ¶
3?2x ? paire
5. Lafonctiongdéfinieparg(x)?ln est:
3?2x ? impaire
? nil’unnil’autre
toujours croissante quelle que soit la valeur
6. Lasuitedéfinieparrécurrencepar ?
strictementpositivedeu02u ? f (u ) (n?0)etu ?0,avec f(x)?x ,est:n?1 n 0
toujours décroissante quelle que soit la valeur
?
strictementpositivedeu0
? croissantesietseulement siu ?10
? décroissantesietseulement siu ?10
Page3/4Explications:
p2 1 2 1 1 1 1x ? x ? 2 22 2 21. e ? e,e ?e ,x ? ? ,x ?1,x??1
2 2µ ¶
1 1
2. Onconsidèrel’inéquation ln(x)?ln ?0;l’ensemble dedéfinitionest]0;?1[carondoitavoir x?0et ?0
x x
µ ¶ µ ¶ 21 1 1 1 x ?1 2Pourx?0,ln(x)?ln ?0,lnx?ln ,x? ,x? ?0, ?0,x ?1?0,x2]0; 1[(carx?0)
x x x x x
µ ¶225 5 523. x ?5x? ? x? ?0; estdoncàexclure.
4 2 2
µ ¶2 2x x? 2 24. 8x2R ,0? ?1(carx ?x ?1),doncln ?0.
2 2x ?1 x ?1
à !µ ¶ µ ¶
3?2x 1 3?2x
5. 8x2D ,g(?x)?ln ?ln ??ln ??g(x).g 2?2x3?2x 3?2x
3?2x
2 26. Par récurrence : si u ? 1, u ? u ? u car u ?u ? u (u ?1)? 0 (initialisation) et u ? u ) f (u )? f (u ) donc0 1 0 0 0 0 n n?1 n n?10 0
2u ?u carx7!x estcroissantesur[1;?1[.n?1 n?2
Exercicepourlesspécialistes
1. (a) 3?(?2)?7?1?1donclecouple(u ; v)?(?2; 1)estunesolutionparticulièredel’équation 3x?7y?1.
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢2n 2n 2n 2n 2n3u?7v?1)3? u?10 ?7? v?10 ?1?10 donclecouple x ; y ? 10 u ; 10 v estunesolutionparti-0 0
culièrede(E).
¡ ¢
(b) (E),3x?7y?1,3x?7y?3x?0?7y ,3(x?x )?7 y ?y .0 0 0¡ ¢
3divise3(x?x ),donc3divise7 y ?y donc y ?y?3k,k2Z,d’où y?y ?3k.0 0 0 0
Enremplaçant,ontrouve3(x?x )?7?3k d’oùx?x ?7k doncx?x ?7k.0 0 0
©¡ ¢ ª
L’ensemble dessolutionsestdonc: S ? x ?7k ; y ?3k ,k2Z .0 0
2. (a) 100?7?14?2 () 100?2 mod7.
¡ ¢n2 2 2n 2 2 2 2 2 n(x ; y)solutionde(G)signifie3x ?7y ?10 () 3x ?7y ? 10 () 3x ?7y ?100 .
n nOr100?2 mod7)100 ?2 mod7.
2 2 nDonc3x ?7y ?2 mod7.
2 2 nMais7y ?0 mod7,doncfinalement 3x ?2 mod7 .
(b)
Reste de la division eucli- 0 1 2 3 4 5 6
diennedex par7
Reste de la division eucli- 0 3 5 6 6 5 3
2diennede3x par7.
(c) Encalculantlespremièrespuissancesde2modulo7,onobserveuncycled’ordre3.
Detroischosesl’une:
¡ ¢p3p 3 p p? n?3p,p2N ;alors2 ? 2 ?8 .Or8?1 mod7)8 ?1 mod7;
3p?1 3p p p 3p? n?3p?1;alors2 ?2 ?2?8 ?2.Or8?1 mod7)8 ?1 mod7)2 ?2?2 mod7;
3p?2 3p 2 3p p p p? n?3p?2;alors2 ?2 ?2 ?4?2 ?4?8 .Comme8 ?1 mod7,4?8 ?4 mod7.
nConclusion:2 estcongruà1,2ou4modulo7.
n 2On vient de voir que les restes dans la division par 7 de 2 ne sont pas les mêmes que ceux de la division de 3x par 7.
2 nDonc3x et2 nepeuventêtrecongrusmodulo7.D’aprèsle2.a.iln’yadonc pasdesolutionpourl’équation (G) .
Page4/4

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