Correction du sujet Métropole juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Correction du sujet Métropole juin 2010 Exercice I 1. Pour tout x ?R, ln ( ex ) = x donc ln ( e?3 ) =?3. -3 est solution de l'équation ln ( ex ) =?3 . 2. f (x)= ?2x3+3x (2x ?1)3 : c'est une fraction rationnelle, donc sa limite à l'infini est celle du quotient de ses termes de plus haut degré : lim x?+∞ f (x)= lim x?+∞ ?2x3 (2x)3 ; or, pour x 6= 0, ?2x3 (2x)3 = ?2x3 8x2 =? 1 4 . Par conséquent : lim x?+∞ f (x)=? 1 4 . 3. Soit f (x)= 3lnx ?2x +5. L'équation réduite de la tangente au point d(abscisse a de la courbe C f est : y = f ?(a)(x ?a)+ f (a). a = 1 : f (a)= f (1)= 3. Pour tout x, f ?(x)= 3 x ?2 donc f ?(1)= 1. L'équation de la tangernte est alors : y = 1(x ?1)+3, c'est-à-dire : y = x +2 .

• coût mensuel de fabrication


• x0 ≈


• partie hachurée sur le graphique


• réunion d'événements ioncompatibles


• coût de production mensuel


• gain moyen

Informations

• Publié par: Ecole-pour-tous
• Publié le: 01 juin 2010
• Nombre de lectures: 24
• Langue: Français

Extrait

CorrectiondusujetMétropolejuin2010
ExerciceI
¡ ¢ ¡ ¢
x −31. Pourtoutx∈R,ln e =x doncln e =−3.
¡ ¢x-3estsolutiondel’équationln e =−3 .
3−2x +3x
2. f(x)= :c’estunefractionrationnelle,doncsalimiteàl’infiniestcelleduquotientdesestermesdeplushautdegré:
3(2x−1)
3 3 3−2x −2x −2x 1
lim f(x)= lim ;or,pourx6?0, = =− .
3 3 2x→+∞ x→+∞(2x) (2x) 8x 4
1
Parconséquent: lim f(x)=− .
x→+∞ 4
3. Soit f(x)=3lnx−2x+5.
′L’équationréduitedelatangenteaupointd(abscissea delacourbeC est: y= f (a)(x−a)+f(a).f
a=1: f(a)= f(1)=3.
3′ ′Pourtoutx, f (x)= −2donc f (1)=1.
x
L’équationdelatangernteestalors:y=1(x−1)+3,c’est-à-dire: y=x+2 .
4. SoitX legainalgébriquedujeu. X peutprendrelesvaleurs7,-2et-3.Commeledéestéquilibré,onafacilement:
1 1 1 2 1 3 1
p(X=7)= ;p(X=−2)== + = = etp(X=−3)= = .
6 6 6 6 3 6 2
X 1 1 1
Legainmoyenestl’espérance deX :E(X)= x ×p(X=x )=7× +(−2)× +(−3)× =−1.i i
6 3 2i
Legainmoyenest-1 .
ExerciceII(obligatoire)
1. Arbre:
0,9 S
A
0,25 S0,1
0,65 S
B0,4
S0,35
0,8 S0,35
C
S0,2
2. D’aprèslaformuledesprobabilitésconditionnelles, ona:p(A∩S)=p (S)×p(A)=0,25×0,9=0,225. p(A∩S)=0,225A
3. S=(S∩A)∪(S∩B)∪(S∩C),quiestuneréuniond’événements ioncompatibles.
Parconséquent:p(S∩A)+p(S∩B)+p(S∩C)=p (S)×p(A)+p (S)×p(B)+p (S)×p(C)(formuledesprobabilitéstotales)A B C
=0,9×0,25+0,65×0,4+0,8×0,35= 0,765 .
p(S∩S) 0,8 56 56
4. Ona:p (C)= = = ≈0,366. p (C) ≈0,366S S
p(S) 0,765 153 153
ExerciceII(spécialité)
2 2SoitF(x ; y)=x −2x+y −4y+6.
1. 120et160correspondentrespectivementàx=1,2et y=1,6.
2 2
F(1,2; 1,6)=1,2 −2×1,2+1,6 −4×1,6+6=12donclecoûtdeproductionmensuel estde 12000euros .
2. Premièreméthode(vérification)
2 2 2 2 2 2
Pourtousx et y,(x−1) +(y−2) +1=x −2x+1+y −4y+4+1=x −2x+y −4y+6=F(x ; y).
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bbbbbbbbbb£¡ ¢ ¤ £¡ ¢ ¤2 2 2 2Deuxièmeméthode:F(x ; y)=x −2x+y −4y+6= x −2x+1 −1 + y −4y+4 −4 +6
£ ¤ £ ¤2 2 2 2= x−1 −1 + (y−2) −4 +6=(x−1) +(y−2) +1.( )
2 2Lecarréd’unnombreréelestpositif,donc,pourtoutx etpourtout y,(x−2) ?0et(y−2) ?0.
Onendéduit: F(x ; y)?1 avecF(x ; y)=1pourx=1et y=2.
Le coûtmensuel minimum defabrication est de10000 euros, pour 100 sièges deluxe et 200sièges deconfort
fabriqués.
3. (a) Silafabricationestde250sièges,ona:x+y=2,5donc y=2,5−x .
Lecoûtmensueldeproduction,souscesconditions,estde:
2 2 2 2 2 2 2 2 2(x−1) +(y−2) +1=(x−1) +(2,5−x−2) +1=(x−1) +(0,5−x) +1=x −2x+1+0,25−x+x +1= 2x −3x+2,25 .
2(b) Onpose f(x)=2x −3x+2,25.
′f estdérivableet f (x)=4x−3.
3′f (x)=0équivautàx= =0,75.
4
′
f (x)<0pour4x−3<0doncpourx<0,75.
Onendéduitletableaudevariationssur[0; 2,5]:
x 0 0,75 2,5
′f (x) − 0 +
7.25
@
f(x) @
@R
1,125
Lecoûtmensuel defabricationestminimum pour x=0,75centaines ,c’est-à-dire75sièges deluxe fabriqués
ety=2,5−0,75=1,75centaine,soit175siègesdeconfortfabriqués.
Lecoûtminimumcorrespondantestalorsde11250euros.
Page2/4ExerciceIII
8,82−6,67PartieA:Observationdesdonnées 2. ×100≈32,23.
6,671. Nuagedepoints:
Lepourcentaged’augmentation entre2001et2009esten-
vironde 32,23% .
3. Soit t le taux moyenannuel d’augmentation entre2001 et
2005.
4Onaalors:6,67(1+t) =8,03donc
8,034(1+t) = ,quidonne:
3,67
µ ¶1
48,03
1+t= ,d’où:
6,67
1µ ¶
48,03
t= −1≈ 4,75% .
6,67
PartieB:estimationparunajustementexponentiel
On estime la valeur en 2005+n su SMIC horaire brut à 8,03×2
n1,024 .
1. 2012correspondàn=7;uneestimationduSMICen2012
7
seraalors:8,03×1,024 ≈9,48.
Ilserade9,48euros.
10n n2. 8,03× 1,024 ? 10 équivaut à 1,024 ? d’où :
8,03µ ¶
10′n ln(1,024)?ln .
8,03³ ´
10ln 8,03
Onendéduit:n? ≈9,2.
ln(1,024)
1 Il faudra attendre 10 ans pour que le SMIC atteigne
aveccetteestimationunmontantsupérieurà10euros,
c’est-à-dire2015.
O
0
0 1 2 3 4 5 6 7
ExerciceIV
0,05xLafonctiond’offreestdéfiniepar f(x)=153e etlafonctiondedemandeparg(x)=−116ln(x+1)+504.
1. (a) La fonction linéaire x7! 0,05x est croissante surR (le coefficient directeur 0„05 est positif); la fonction exp est crois-
0,05xsante surR,doncpar composition, lafonction x7!e est croissante (lacomposée dedeux fonctions croissantes est
croissante).Enmultipliant par153,nombrepositif, onobtientencoreunefonctioncroissante. f estcroissante
′ 0,05x(sinon,oncalcule f (x)=153×0,05e >0)
(b) Le fonction x7!x+1 est croissante surR et à valeurs strictement positives sur [0; 35]; la fonction ln est croissante sur
]0;+∞[,donc,parcomposition, lafonctionx7!ln(x+1)estcroissantesur[0; 35].
-116estnégatif,donclafonctionx7!−116ln(x+1)estdécroissante,et g estdoncdécroissante.
1 116′(sinon,oncalculeladérivée:g (x)=−116× =− <0).
x+1 x+1
(c) Graphiquement, ontrouvequelescoordonnéesdeEsontapproximativement: E(9; 240) .
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bbbbbbbbb2. L’abscissexdeEestsolution del’équation f(x)=g(x),doncdeh(x)=0avech(x)= f(x)−g(x).
(a) h= f −g= f +(−g).Comme g estdécroissante sur[0; 35],−g estcroissantesurlemême intervalle eth estcroissante
surcetintervalle,commesommededeuxfonctionscroissantes.
(b) • h estcontinuesur[0;35]commesommmeetcomposéedefonctionscontinues.
• h(0)=153−504=−351<0.
• h(35)≈792>0
D’aprèslethéorèmedesvaleursintermédiaires,l’équationh(x)=0admetaumoinsunesolutiondans[0;35].Comme
h estcroissante,cettesolutionestunique.Onlanotex .0
(c) Àlacalculatrice,ontrouve: x ≈8,871 ,à0,001prèsparexcès.0
0,05×8,871(d) y = f (x )≈153e ≈2,38,41; y ≈ 238,41 .0 0 0
(e) Leprixunitaired’équilibreestde238,41euros,pourunequantitédisponiblede8871objets.
′ u
3. Pourtrouveruneprimitivede f,onchercheàfaireapparaîtreuneexpressiondutypeu e ,avec
′
u(x)=0,05x etu (x)=0,05.
153 1530,05x 0,05x ′ u(x)f(x)=153e = ×0,05e = u (x)e .
0,05 0,05
153 0,05x 0,05xOnendéduitqu’uneprimitiveF de f estdéfiniepar:F(x)= e : F(x)=3060e .
0,05
Zx0
4. LesurplusestS=x ×y − f(x)dx.0 0
0
x ×y représentel’airedurectangleconstruitsurl’intervalle 0; x etdehauteur y (ordonnéedeE).[ ]0 0 0 0
Lesurplusestdoncl’airecompriseentreladroited’équation y=y ,lacourbeC etlesdroitesd’équationx=0etx=x (voir0 f 0
partiehachuréesurlegraphiqueci-dessous).Zx0 ¡ ¢
x x0 0f(x)dx=F(x )−F(0)=3060e −3060=3060 e −1 .0
0 ¡ ¢x0Parconséquent:S=x y −3060 e −1 ≈ 406,7 .0 0
Courbedel’exerciceIVy
800
700
600
500
400
300
y0
E
200
100
O x x0
10 20 30
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