cours droites systemes doc

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Niveau: Secondaire, Lycée, Seconde
2-cours-droites-systemes.doc EQUATIONS DE DROITES ? SYSTEMES LINEAIRES I) EQUATIONS DE DROITES 1) Les droites non verticales Soit d une droite non verticale quelconque. Cette droite n'étant pas parallèle à l'axe des ordonnées, elle le coupe en un point que l'on appellera B et elle a également un vecteur directeur d'abscisse 1 que l'on appellera 1u. Appelons b l'ordonnée du point B et a celle de 1u. On a alors : B(0 ; b) et 1u(1 ; a) 1u 1i 1j B d O a b Soit M(x ; y) un point quelconque du plan. M(x ; y) ? d ? 4BM(x ; y ? b) est colinéaire à 1u(1 ; a) ? x ? a ? (y ? b) ? 1 = 0 ? a x = y ? b ? y = a x + b Conclusion : • La relation y = a x + b permet donc de déterminer si un point appartient ou non à d. Cette relation caractérise donc la droite d et on l'appelle équation de d. • Toute droite non verticale a donc une équation de la forme y = a x + b et est la représentation graphique d'une fonction affine.

• droite ∆ d'équation


• vecteur directeur


• droites ?


• points ex


• vecteur directeur d'abscisse


• unique couple


• ?? ?a

Sujets

• Seconde
• Mathématiques
• Vecteur directeur

Informations

• Publié par: cours_de_mathematiques
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Français

Extrait

2coursdroitessystemes.doc EQUATIONS DE DROITES − SYSTEMES LINEAIRES I) EQUATIONS DE DROITES 1) Les droites non verticales Soitdune droite non verticale quelconque. Cette droite n’étant pas parallèle à l’axe des ordonnées, elle le coupe en un point que l’on appellera B et elle a également un vecteur directeur d’abscisse 1 que l’on appellera 1 u. Appelonsbl’ordonnée du point B etacelle de 1 B(0 ;u. On a alors :b) et 1 u(1 ;a) d

u 1 a B

b j1 O i1

Soit M(x;y) un point quelconque du plan. ∈ ⇔4 M(x;y)d BM(x;y−b) est colinéaire à u 1 (1 ;a) ⇔x×a− (y−b) × 1 = 0 ⇔ax=y−b ⇔y=ax+b Conclusion : La relationy=ax+bpermet donc de déterminer si un point appartient ou non àd. Cette relation caractérise donc la droitedet on l’appelle équation ded. Toute droite non verticale a donc une équation de la formey=ax+bet est la représentation graphique d'une fonction affine. best l’ordonnée du point dedd’abscisse 0. On l’appelle donc ordonnée à l’origine de la droited. acaractérise la pente de la droited. On l’appelle coefficient directeur ded. Deux droites non verticales sont donc parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. y Q −y P Soient P et Q deux points distincts deden fonction de. Déterminonsaetb: x Q −x P y Q −y P ax Q +b−ax P −b a(x Q −x P ) dn’est pas verticale doncx Q ≠x P = et := =a x Q −x P x Q −x P x Q −x P Il est facile de lire graphiquement les valeurs de a et de b sur une figure. On peut donc très rapidement : soit lire graphiquement l’équation d’une droite dont on a le tracé, soit déduire le tracé d’une droite dont on a l’équation. Vidéoprojecteur : 2cmpequationdedroite.html

Salle informatiue : 2exoeuationdedroite.html

p279: 8, 9 (avec la méthode cidessus), 11, 14 p283: 38 p284: 42

2coursdroitessystemes.doc 2) Les droites verticales Soitdune droite verticale quelconque. Cette droite étant parallèle à l’axe des ordonnées, on ne peut définir ni le point B, ni le vecteur u 1 du paragraphe précédent ! Appelons donc C le point d’intersection dedavec l’axe des abscisse et posonsx c =c. d

1j C O 1i

Soit M(x;y) un point quelconque du plan. M(x;y)∈d⇔C4M(x−c;yj) est colinéaire à1(0 ; 1) ⇔(x−c) × 1 −y× 0 = 0 ⇔x=c Conclusion : L’équation dedest doncx=c. Toute droite non verticale a donc une équation de la formex=c. Une telle droite n'a ni coefficient directeur, ni ordonnée à l'origine et ne représente graphiquement aucune fonction. L’inconnueyn’apparaît même pas dans l’équation ded! En effet, pour savoir si un point appartient ou non àd, peu importe son ordonnée, seule compte son abscisse.

p279: 12 p283: 28, 33, 39, 40

2coursdroitessystemes.doc 3) Déterminer l'équation d'une droite y a) Connaissant deux points B Ex :Déterminer l'équation de la droite (AB) ci contre : 1 j A O 1 i ère 1 méthode:x A ≠x B donc (AB) n'est pas verticale et a donc une équation de la formey=ax+b      A∈(AB)y A =ax A +b0 = −2a+b (1) 2 = 2b (1)+(2) a= 1/2    ⇔⇔⇔⇔   B∈(AB)  y B =ax B +b  2 = 2a+b (2)  2 = 4a (2)−(1)  b= 1 (AB) a donc pour équation réduite :y= 1/2x+ 1 ème 2 méthode:x A ≠x B donc (AB) n'est pas verticale et a donc une équation de la formey=ax+b y B −y A 2 12 − 0 aveca= == = x B −x A 2 − (−2)4 2 1 1 de plusA∈(AB) doncy A =x A +b doncb= 0 −(−2) = 1 2 2 (AB) a donc pour équation réduite :y= 1/2x+ 1 ème 3 méthode:Soit M(x;y) un point quelconque M∈(AB)⇔ A4M(x+ 2 ;y) est colinéaire à A3B(4 ; 2) ⇔x A4M y A3B −y A4M x A3B = 0 ⇔ (x+ 2) × 2 −y× 4 = 0 ⇔ 2y=x+ 2 ⇔y= 1/2x+ 1 (AB) a donc pour équation réduite :y= 1/2x+ 1 b) Connaissant un vecteur directeur et un point Ex :dpasse par A(−2 ; 0) et u1(2 ; 1) est l'un de ses vecteurs directeurs. Déterminer son équation. Soit M(x;y) un point quelconque  M∈d⇔ A4M(x+ 2 ;y) est colinéaire à1u (2 ; 1) y u 1 ⇔x A4M y 1u −y A4M x u1 = 0 ⇔ (x+ 2) × 1 −y× 2 = 0 ⇔ 2y=x+ 2 j 1 A ⇔y= 1/2x+ 1 i O 1 da donc pour équation réduite :y= 1/2x+ 1 c) Parallèle à une droite passant par un point 1 Ex :Déterminer l'équation deΔparallèle à la droite' laΔ d'équation :y=xpassant par C(1 ; 0)+ 1 2 ΔetΔ' étant parallèles, elles ont le même coefficient directeur, donc y 1 l'équation deΔ' est de la formey=x+b 2 j 1 i 1 1 11 O C de plusC∈Δ' doncy C =x C +b doncb= 0 −(1) = − 2 22 1 1 Δ' a donc pour équation réduite :y=x− 2 2 p279: 10, 13 p283: 30, 31 p284: 43, 46

2coursdroitessystemes.doc II) SYSTEMES DE 2 EQUATIONS LINEAIRES A 2 INCONNUES 1) Qu'estce qu'un système "2 × 2" ? Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est un système de la forme :  ax+by=c   a'x+b'y=c' Remarques : Siaetbsont tous les deux nuls, peuton encore parler d'un système de deux équations ? On convient donc que : aetbne doivent pas être nuls en même temps a'etb'ne doivent pas être nuls en même temps a c Sib≠0 alorsax+by=c⇔by= −ax+c⇔y= −x+ b b c Sib= 0alorsa≠0 etax+by=c⇔ax=c⇔x= a On voit donc qu'une équation linéaire à deux inconnues peut toujours se mettre soit sous la formey= mx+ p, soit sous la formex= k … tout comme une équation de droite !! Conséquence : De même que deux droites ont pour intersection :De même un système 2 × 2 aura pour solutions : soit un unique point d'intersectionsoit un unique couple solution (les droites sont sécantes) soit aucun point d'intersectionsoit aucun couple solution (les droites sont strictement parallèles) soit tout point de l'une est aussi un point de l'autresoit tout couple solution de l'une est aussi solution de  l'autre (les droites sont confondues)(les deux équations sont équivalentes)

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2coursdroitessystemes.doc 2) Déterminer le nombre de solutions d'un système 2 × 2 Peuton savoir à l'avance si un système linéaire 2 × 2 admet un unique couple solution ou non ? Dans le cas oub≠0 etb'≠0, on a : a c  y= −x+    ax+by=cby= −ax+ bc b    ⇔⇔  a'x+b'y=c'  b'y= −a'x+c' a'c' y= −x+   b' b' Comme on l’a vu dans le paragraphe précédent, ces deux dernières équations sont de la même forme que des équations de droites nonverticales. Or on sait que deux droites nonverticales ont un unique point d'intersection si et seulement si leurs coefficients directeurs sont différents. Par analogie, on peut donc en déduire que :  ax+by=c aa'   a un unique couple solution⇔ −≠−  a'x+b'y= b' c' b a a' ⇔≠ b b' ⇔ab'≠a'b ⇔ab'−a'b≠0 Remarques : a a' Pourquoi avoir transformé le critère≠ enab'−a'b≠0 ? b b' a a' Parce qu'on ne peut compareret quesibetb'sont non nuls : ce qui n'est pas toujours le cas ! b b' En revanche, on peut montrer que le critèreab'−a'b≠0 est toujours valable.  ab  On appelle le nombreab'−a'bdéterminantdu système et on le note : a'b' Bilan :

 ax+by=c  ab   Le systèmeadmet un unique couple solution si et seulement si≠0  a'x+b'y=c' a'b'

Distribuer tout de suite la feuille "Résoudre un système" et commenter le "a) Les 3 possibilités"

2coursdroitessystemes.doc 3) Résoudre un système a) Les trois possibilités :    x− 2y= 1L 1 x− 2y= 1L 1 x− 2yL= 1 1    (S 1 ) (S 2 ) (S 3 )  3x+ 6yL= 3 2  3x− 6yL= 3 2  3x− 6yL= − 4 2 Le déterminant de (S 1 ) estLe déterminant de (S 2 ) estLe déterminant de (S 3 ) est  1 −2   1 −2   1 −2  = 6 + 6 = 12≠= −6 + 6 = 00 =−6 + 6 = 0 3 63 −63 −6 Il y a donc un seul couple solution Or on remarque que L 2 = 3×L 1  Oron remarque que (1 ; 0) est  x= 2y+ 1 solution de L Les deux équations sont donc 1 et n'est pas solution   (S 1 )⇔   12yL= 0 2 ←−3×L 1 +L 2 de L équivalentes donc : 2 . Les deux équations sont  donc incompatibles : x= 1 (S 2 )⇔x− 2y= 1⇔x= 2y+ 1  ⇔  y= 0 0 )} S =∅  S= {( 1 ; S = {( 2α+ 1 ;α)} avecα réel quelconque Remarques : ; )}S = {(N'oubliez ni les {}, ni les ( ) : Ne pas parler de droite ou de point d'intersection dans la rédaction p284: 51, 54, 55, 56, 59, 60, 61, 62  p285: 66, 67, 68 Vérifier le résultat !  p286:81, 83  p287:87,89,90 b) Pourquoi utiliser des équivalences ?  x+y= 10L 1   A la question :Résoudre : (S 1 ) x+ 2yL= 5 2   x−yL= 9 3 Un élève a répondu :L 2 – L 1 donney= – 5  ord'après L 3 on ax=y+ 9 doncx5 + 9 = 4= –  doncS = {(4 ; – 5)} Qu'en pensezvous ? c) Systèmes non linéaires se ramenant à un système linéaire via un changement de variable : 3  x+ =− 1  y 1  (S 1 ) Pourtoutx>0 ety≠pose :0, onX =xY = et 1 y 2x− =5   y Résolvons (S 2 ) :  X + 3 Y = −1 L 1  1 3    (S 2 ) est linéaire et a pour déterminant := – 1 – 6 = – 7≠ 0  L2 X − Y = 5 2 2 −1   7X = 14L 1 ←L 1 +3× L 2 X = 2    (S 2 ) admet donc un couple solution unique et équivaut à :⇔  L7Y = −7 2 ←2× L 1 − L 2 Y = −1    x= 2    x= 4 (>0)   donc (S 1 )⇔  1 ⇔S = {(4 ; – 1)} donc   ≠  =−1 y( 0)= −1   y p284: 63, 64