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Chapitre 1
Dynamiquesale´atoires:chainesde Markov
Pourmode´liserl´evolutionaucoursdutemps(ladynamique)desyst`emesbiologiques,par exemplecelledunorganisme,dunesubstance,dunecosyst`eme,onchoisitsouventdesmod`eles al´eatoires.Lesplussimplesdecesmod`elesale´atoiressontleschaˆınesdeMarkovqui,dans lecasparticulier´etudi´eicisontfacilesa`utilisercarilnyapratiquementaucunpre´requis mathe´matique.Ellesnousdonnerontloccasiondunepremi`erefamiliarisationaveclecalcul matricielquenousapprofondironslorsdesle¸conssuivantes.
1.1Laplussimpledesdynamiquesale´atoires Onmod´eliseavecdeschaıˆnesdeMarkovl´evolutionaucoursdutempsdequantit´esXqui peuventprendreunnombrenide´tatsX=x1,X=x2. .,, .X=xnessapiuqtetta´eldent xial`isnattnt`la´teatxjaviutninstants`alteva1enuc+´eitobprilabpijs.Leend´onrembnoes P n p=P(X=x /X=xe1t)v´entdoriepahcaenıˆ=pu1(quisiles ij t+1j tinc 0pijj=0ij estdansl´etatxisbielsspotsta´eesndulsnadtnemeriassena,tleelesar´nce`auninstx1, . . . , xn l’instant suivant et doncpi1+pi2+. . .+pin= 1).; L’expressionP(Xt+1=xj/Xt=xi) s’appelle uneit´econdprobabileltioinnleit´eteerrppraabobse´eelntqaletnautiliuqe´Xvaillexj`alattnisn t+ 1sachant qu’elle valaitxitnatsnila`t”. Pourde´nirunechaˆınedeMarkovilfautdoncdeuxingre´dientsdebase: 1. L’cadeepsatstsee´S:={x1, . . . , xn}connu que l’on supposera fini 2. Lamatrice de transition(ou de passage) x1x2x. . .n   p11p12∙ ∙ ∙p1nx1 P= (pij)1in,1jn=    . .. pn1pn2∙ ∙ ∙pnnxn
Fig.`cestteopniemnegramDia1.1l`aemexedpladelcseherronopstnadnymaqieuedal foreˆtnaturelle`atroise´tats,herbe,arbustesettˆeorfus.,ide´e´utseoscedi
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´ CHAPITRE 1.DYNAMIQUES ALEATOIRES : CHAINES DE MARKOV
Anoterquecettematriceestappele´ematrice stochastiqueparce que ses coefficients sont tous compris entre 0 et 1 et la somme des coefficients de chaque ligne vaut 1 (ce qui n’est pas vraieng´en´eralpourlescolonnes). Onpeutaussirepr´esenterunechaıˆnedeMarkov(S,P) par unintsenpoammeiagrdsehce`te commeindiqu´eparlagure(1.1)correspondant`alexempleci-dessous.Danscesdiagrammes, chaque´etatestrepr´esente´parunpointetchaquecoecientpijnon nul de la matrice de transitionparunee`cheallantdel´etatiteta`al´j. Silonconnaitladistributioninitialedesdie´rentse´tats(cest-a`-direlaproportiondindi-vidusdelapopulatione´tudie´esetrouvantdanschacundes´etatsxi, que l’on appelle laloi de probabilit´einitialeπ0edactterreemvvpaarkoedeMaˆınlachettecerdtiarap,`erullcute´ededl,) re´partition S x1x2....xn π0π0(x1)π0(x2) ....π0(xn) π0(xitansnt`)ilatmbreesnosri`ea`d-itdrpara=c0,t-esπ0(xi) :=P(X0=xiaslatet´sleuq,) populationvaatteindre`alinstanttrobabiliquellespte1=ceva´tseπ1iu`slainttanps,t= 2 et ainsi de suite. En d’autres termes, on va ainsi calculer la loiπtpour tous lest >0 et ainsi mode´liserladynamiquedecettepopulation.
1.2Unexempleene´cologie Onsinteresseaude´veloppementduneforˆetnaturelleenr´egiontempe´r´eesuruneparcelle enfriche(parexempleparabandondunezˆonecultiv´eeousuite`aunincendie).Notremod`ele simplie´comporte3´etats.L´etat1estceluiduneve´ge´tationconstitue´edherbesoudautres esp`ecespionni`eres;le´tat2correspond`alapr´esencedarbustesdontlede´veloppementrapide n´ecessiteunensoleillementmaximaletl´etat3celuidarbresplusgrosquipeuventsede´velopper dansunenvironnementsemiensoleill´e.Silonnoteh,a,frecis´estro(poutatsherbe, arbustes, forˆet), on a donc iciS={h, a, f}.uSlraparcelleonrep`eeruaosulgnardnonmbredepoints (unmillier)re´partissurunmaillager´egulieretonenregistre`aintervalledetempsxe´(tousles 3ans)l´etatdelav´ege´tationenchacundecespoints. Lobservationdelensembledecespointsa`linstantinitialt0leerinrmte´eedtdreemps proportionsinitialesdechacundes3e´tatsπ0= (π0(h), π0(a), π0(furcela,onrel`everuop).)oP chacundeuxle´tatdanslequelilsetrouveetoncalculelaproportiondepointsdanschacundes e´tatspossible.Onpeutvoircesproportionscommelesprobabilite´spourunpointquelconque delaparcelledˆetredanslundeces´etats`alinstantinitial. Danscemode`le,onsupposeconnuesles9probabilite´s pij=P(X1=j/X0=i) pour chaque valeuri∈ {h, a, f}etj∈ {h, a, f}it´eabilprob,uqleiotnurpnpsuoersspadeuenqco dele´tatiate´la`tj. On a (par exemple) : h a f   0,5 0,45 0,05h P=  0,1 0,5 0,4a 0 0,1 0,9f dou`lediagrammeenpointset`echesdelagure(1.1). Onpeutainsicalculerlaprobabilit´edenimportequellesuccessionde´tats,appel´eetrajectoire delachaıˆnedeMarkov.Parexemplelaprobabilit´equenunpointdelaparcelleonobservela successiond´etats(h, h, a, f, f`ea)se´tgela P(X0=h, X1=h, X2=a, X3=f, X4=f) =π0(h)P(X1=h/X0=h)P(X2=a/X1=h)P(X3=f /X2=a)P(X4=f /X3=f) =π0(h)phhphapafpf f=π0(h)(0,5)(0,45)(0,4)(0,9) = 0,081π0(h).