LES NOMBRES COMPLEXES
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I – Définition:
1°) Définition 1 : Soit i le nombre imaginaire unité tel que i = –1. On appelle
ensemble des nombres complexes, l’ensemble noté ℂ et défini par :
ℂ = { z = a + ib ; (a ; b) ε ℝ²}.
a est appelé la partie réelle de z notée Re(z) ;
b est appelé la partie imaginaire de z notée Im(z).
2°) Égalité de deux nombres complexes :
Soient deux nombres complexes z = a + ib et zɅ = aɅ + ibɅ.
a = a' Re(z) = Re(z')
z = z' ? ?
b = b' Im(z) = Im(z')
3°) Opérations dans ℂ:
a) Addition :
Soit z = a + ib et zɅ = aɅ + ibɅ ; on a z + z’ = (a+ a’) + i( b+ b’).
b) Multiplication:
z z’ = (a + ib) (a’ + ib’) = (aa’ – bb’) + i(ab’ + ba’).
c) Division:
a + ib (a + ib)(a' ib')
= avec (a’ ; b’) ≠ ( 0 ; 0)
2 2a'+ib' (a') + (b')
(ℂ, +) est un groupe abélien ; (ℂ*, ) est un groupe commutatif.
La multiplication est distributive par rapport à l’addition dans ℂ, d’où (ℂ,+, )
est un corps.
II – Conjugué d’un nombre complexe:
1°) Définition 2:
On appelle conjugué du nombre complexe z = a + ib le complexe z = a ib .
Exemples: z = 2 – 3i ⇒ z = 2 + 3i ; z= –1+5i ⇒ z = 1 5i.
2°) Propriétés: Soit z = a + ib et zɅ = aɅ + ibɅ.
Un complexe z est réel ? Im (z)= 0 ? Z = Z
Un complexe z est imaginaire pur ? z ≠0 et Re (z) = 0 ? Z + Z = 0
z + z' = z + z' ;
z = z ;
nn z z' = z z' ; ( z )= ( z )
z z
avec z’ ≠ 0. = z' z'
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