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Polynomes Quelques demonstrations sautees en cours

4 pages
Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Polynomes. Quelques demonstrations sautees en cours 1er fevrier 2011 Division euclidienne : existence a l'aide d'un algorithme En cours, nous avons justifie l'existence de la division euclidienne en « posant » la division, methode que l'on connaıt depuis le college. Nous reecrivons ici la methode du college sous la forme d'un algorithme qui etant donnes des polynomes A ? K[X] et B ? K[X] avec B 6= 0 construit un couple (Q,R) de polynomes dans K[X] verifiant A = QB +R (1) deg(R) < deg(B) (2) Dans l'algorithme donne1, deg(P ) designe le degre d'un polynome P ; dom(P ) le coefficient dominant de P, si P 6= 0. Lorsqu'on considere une variable informatique a, ecrire a? 0 signifie qu'on a affecte a a la valeur 0. Div(A,B) Entree : A,B ? K[X] avec B 6= 0. Sortie : (Q,R) ? K[X]2 verifiant (1) et (2). 1. R? A. 2. Q? 0. 3. si deg(R) < deg(B), allez en 7. 4. Q? Q+ dom(R) dom(B) Xdeg(R)?deg(B).

  • produit vide

  • algorithme de division euclidienne

  • ?i

  • identites remarquables sur les coefficients binomiaux

  • racines reelles

  • polynomes de degre


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Polynˆomes.Quelquesd´emonstrationssaut´eesencours
er 1fe´vrier2011
Divisioneuclidienne:existencea`laidedunalgorithme
Encours,nousavonsjusti´elexistencedeladivisioneuclidienneen«posant»uqeohed´mteoi,nadlisiv lonconnaˆıtdepuislecolle`ge. Nousre´e´crivonsicilam´ethodeducolle`gesouslaformedunalgorithmemeˆoynolstenadtno´nseedpsqui´ AK[X] etBK[X] avecB6= 0 construit un couple (Q, Rd)peoˆemlonynadssK[Xe´v]airnt A=Q B+R(1) deg(R)<deg(B) (2) 1 Danslalgorithmedonn´e,deg(Polnpuedr´egedelngise´d)emnyoˆP; dom(P) le coefficient dominant deP,si P6abrivanermfoinleeuqitaLors=0.cnnouqoreueis`da,erirce´a0signiequonaaetce´a`ala valeur 0.
Div(A, B) Entr´ee:A, BK[X] avecB6= 0. 2 Sortie :(Q, R)K[X.)2(te)1ant(eri]v´ 1.RA. 2.Q0. 3. si deg(R)<deg(B),allez en 7. dom(R) deg(R)deg(B) 4.QQ+X . dom(B) dom(R) deg(R)deg(B) 5.RRX B. dom(B) 6. allez en 3. 7.Retourner(Q, R).
Fig.1 – Algorithme de division euclidienne
2 Lorsquuninformaticiena´ecritunalgorithme,ildoitmontrerque: T.sonalgorithmesarreˆtetoujoursquellesquesoientlesentre´es.Onparlealorsdeterminaison; C.sonalgorithmeretournetoujoursunre´sultatcorrect,quellesquesoientlesentr´ees.Onparlealorsde correction. Pour s’assurer de la terminaison et de la correction de son algorithme, l’informaticien peut mettre en ´evidence: T.unequantite´quinesauraitde´croˆıtreind´enimentaucoursdelalgorithme; C.unequantit´einvarianteaucoursdelalgorithme. 1 Lapre´sentationestvolontairementdi´erentedunepre´sentation`alaMaple.Ilsagitdunepre´sentation`alabasicavecdes ´etiquettesetdespointsdebranchement.Cecidit,vouspouvezessayerdelapr´esenterdansunformatMaple. 2 Terminaison et correction sont les mamelles de l’algorithmique.
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