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H. Rorthais

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classe de première, Secondaire - Lycée, 1ère

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T le ES - programme 2002 - mathématiques – ch.2 - cours Page 1 sur 9 (D'après Nathan – collection Transmath édition 2006) H. Rorthais (Lycée-Collège N.D. de l'Abbaye à Nantes) Ch.2 : Dérivation Certaines notions figurant dans ce chapitre sont au programme de la classe de première. Compte tenu de leur importance, nous les rappelons ici. 1 NOMBRE DERIVE. FONCTION DERIVEE f est une fonction définie sur un intervalle I.

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le T ES - programme 2002 - mathématiques–ch.2 - cours (D’après Nathan –collection Transmath édition 2006) Ch.2 : Dérivation

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Certaines notions figurant dans ce chapitre sont au programme de la classe de première. Compte tenu de leur importance, nous les rappelons ici.

1

N OMBRE DERIVE .F ONCTION DERIVEE

f est une fonction définie sur un intervalle I .

1.1Fonction dérivable et nombre dérivé

a et a+h sont deux réels de I (avec h0 ). D EFINITION 1 f(a+h)–f(a) Dire que f estdérivable en a signifie que : la fonction h admet une limite finie en 0 .   h f(a+h)–f(a) On note alors f'(a)= lim . h0 h f'(a) est appelé lenombre dérivé de f en a . f(a+h)–f(a) est letaux de variation, ou l’accroissement moyende f entre a et a+h . h

Remarque :Nombre dérivé et forme indéterminée Considérons une fonction f continue sur I . f(a+h)–f(a) 0 En 0 , la fonction F :h présente une forme indéterminée « ».   h0 Dire que f est dérivable en a signifie que cette fonction F admet une limite finie lorsque h tend vers 0 .

1.2Fonction dérivée D EFINITION 2 Lorsque est dérivable en tout point x de I , la fonction x'x est appelée lafonction dérivéede et est   notée f' .

1.3Règles de calcul

On note : kIR une constante ; nIN*–{1} . R EGLES DE CALCUL f(x)f'(x)f dérivable sur… k (constante) 0 IR x+k1 IR 1–1 *  IR = IR–{0 2 } x x n n–1 * x nx IR pour n2;IR pour n–1 1 +* x R = ]0 ; +[ 2x 1 Si u et v sont deux fonctions dérivables sur I , alors il en est de même pour u+v , ku ( k constante), uv , (si v0 v u sur I (si) et v0 sur I ). De plus : v

R EGLES DE CALCUL



(u+v)'=u'+v' ;



(ku)'=ku' ;



(uv)'=u'v+v'u ;



T HEOREME 1 1)Toute fonction polynôme est dérivable sur IR . 2)Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.

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' 1–v'   = ; 2  v  v



' u u'v–v'u   = . 2  v  v

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le T ES - programme 2002 - mathématiques–ch.2 - cours Page 2 sur 9 (D’après Nathan –collection Transmath édition 2006) Démonstration : 1)Considérons une fonction polynôme de degré n : n n–1 f(x) =a x+a x+…+a x+ a  (avec a0 ) ; n n–01 1 n k k chaque fonction xa x , produit de la fonction xx par la constante a est dérivable sur IR .     k k Donc f , somme de fonctions dérivables sur R , est dérivable sur IR . f(x) 2)Une fonction rationnelle, , quotient de deux fonctions polynômes, est dérivable sur I si g(x)0 sur g(x) I , d'où le résultat.

Exemples : 5 2 4 4 1)Si f(x) = 3x–2x+ 1 alors : f'(x) = 35x–22x= 15x–4x . 3 2)Si f(x) = on peut calculer f'(x) de deux façons : 5 x –5n -en écrivant f(x) = 3x et en utilisant la dérivée de la fonction xx ( n entier, n–1 ), on   –15 –5–1–6 obtient : f'(x) = 3(–5)x=–15x= . 6 x ' 1–v'1   -en utilisant la formule = et en posant f(x) = 3 , on obtient : 2 5  v  v x 4 4 –5x–5x–15 f'(x) = 33 =  = . 5 2 10 6 (x) x x 2 ' 3x+u' vx u –v'u 2 4   3)Si f(x) = , en posant u(x) = 3x+x et v(x) =x+ 1 , et en utilisant la formule = , on 4 2 x+ 1  v  v 3 obtient : u'(x) = 6x+ 1 et v'(x) = 4x . 4 3 2 5 4 (6x+ 1)(x+ 1)–(4x)(3x+x)–6x–3x+ 6x+ 1 Par conséquent f‘(x=) = . 4 2 4 2 (x+ 1) (x+ 1)

Exercice résolu 1 page 55 :Trouver une fonction dérivée 2  1  3x–5x+ 1 ÉNONCÉ : f est la fonction définie sur IR–   par : f(x) = .  2  2x–1 Quelle est sa fonction dérivée ? SOLUTION :  1  f est une fonction rationnelle, donc f est dérivable sur son ensemble de définition, IR–   ; f est de la forme  2  u 2 avec : u(x) = 3x–5x+ 1 et v(x) = 2x–1 . v ' u u'v–v'u   Appliquons la formule : = . Ici u'(x) = 6x–5 et v'(x) = 2 . 2  v  v 2 2 1 (6x–5)(2x–1)–2(3x–5x6+ 1) x–6x+ 3 D'où, pour tout x : f'(x) = = . 2 2 2 (2 x–1) (2x–1)

EXERCICES D'APPLICATION 1 3 1)Calculez la dérivée de chacune des fonctions suivantes : 6 7 3   a)  b)(pour  ). f:x 4x–3x+x–10 ; f:x 11 x 0  x 3 2) 4x–x+ 1 a)Précisez l'ensemble de définition de la fonction f:x .   2 x–4 b)Calculez la dérivée de cette fonction.

Exercices n°R1-R2 page 64 + Q.C.M. n°1 à 7 page 64 + n°A1 à A3 page 65 + n°1 à 5 page 66

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le T ES - programme 2002 - mathématiques–ch.2 - cours (D’après Nathan –collection Transmath édition 2006) 2É QUATION D ' UNE TANGENTE A UNE COURBE D EFINITION 3 est une fonction dérivable sur un intervalle I et a est un réel de I . est la courbe représentant f dans un repère. f Latangentepointà au A(a;f(a)) est la droite T qui passe par A et de f coefficient directeur f'(a) .

3

T HEOREME 2 :

La tangente à

au point A(a;f(a)) a pour équation : y=f'(a)(x–a) +f(a) . f

Démonstration : La tangente T admet une équation de la forme y=mx+p . Son coefficient directeur est égal à f'(a) ; donc m=f'(a) . La droite T passe par A(a;f(a)) ; donc f(a) =ma+p , d'où p=f(a)–ma=f(a)–f'(a)a et y=f'(a)x+f(a)–f'(a)a . Finalement y=f'(a)(x–a) +f(a) .

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Exemple : 2 Considérons la courbe représentant la fonction f:xx . On a f'(x) = 2x et donc f'(3) = 6 et f(3) = 9 .   f La tangente à au point d'abscisse 3 admet comme équation y=f'(3)(x–3) +f(3) , soit y= 6(x–3) + 9 , f ou encore y= 6x–9 .

EXERCICES D'APPLICATION 2 3 3 1)Donnez une équation de la tangente à la courbe représentant la fonction xx+x+ 1 au point d'abscisse   0 . 2x 2)Donnez une équation de la tangente à la courbe représentant la fonction x au point d'abscisse –1 .   x+ 2

Exercices n°A4-A5 page 65 + n°6 à 14 page 66

D ERIVATION ET ETUDE D ' UNE FONCTION

3.1Sens de variation et signe de la dérivée T HEOREME 3 f est une fonction dérivable sur un intervalle I . Si f'0 (resp. f'0 ) sur I , alors f est croissante (resp. décroissante) sur I . Si f'= 0 sur I , alors f est constante sur I . De plus, si I = [a;b] et si f'> 0 (resp. f'< 0 ) sur l'intervalle ouvert ]a;b[ , alors f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur [a;b] .

T.D. n°3 pages 60-61 + Exercices n° 51 à 57 page 72 + n°58-59 page 73

3.2Extrémum local et valeurs qui annulent la dérivée

c est un réel de l'ensemble de définition de f .

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le T ES - programme 2002 - mathématiques–ch.2 - cours (D’après Nathan –collection Transmath édition 2006) D EFINITIONS 4 Dire que f(c) est unmaximum local(resp. unminimum local) signifie que l'on peut trouver un intervalle ouvert I contenant c tel que : pour tout x de I , f(x)f(c) (resp. f(x)f(c) ). On appelleextremum local, un maximum local ( f(c) sur la figure) ou un minimum local ( f(d) sur la figure).

Nous rappelons le théorème suivant : T HEOREME 4 f est une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert et c est un réel de I . Si f admet un extremum local en c , alors f'(c) = 0 .

Remarques :

1)au pointLa tangente à la courbe A(c;f(c)) est horizontale. f 2)La réciproque de ce théorème est fausse : il peut arriver que f'(c) = 0 sans que f(c) soit un extremum local de f . 3 2 Par exemple, si f(x) =x , alors f'(x) = 3x et f'(0) = 0 ; et pourtant f(0) = 0 n'est pas un extremum local de f .

Exemple : 1 2 f est la fonction définie sur IR par f(x) =x+ 3x–1 . 2 f est un polynôme, donc f est dérivable sur IR , et pour tout réel x , 'x=x+ 3 . Le signe de f'(x) est donné dans le tableau ci-contre. Il en résulte que :  f est strictement croissante sur [–3 ; +[ ;  f est strictement décroissante sur ]–;–3] . 1 9–11 2 f(–3) = (–3) + 3(–3)–1 =–9–1 = . 2 2 2 –11 est un minimum local de f . 2 –11 Remarque : Dans ce cas, tous les nombres f (x) .sont supérieurs à 2 –11 On dit que est le minimum absolu de la fonction f . 2 Exercice résolu 2 page 55-56 :Étudier les variations d'une fonction 1 3 2 ÉNONCÉ : f est la fonction définie sur IR par : f(x) =x+x–1 . 3 1)Étudiez les variations de f . 2)Précisez, s'il y a lieu, les extremums de f METHODE :Pour étudier les variations de f : on calcule la dérivée de f ; on étudie le signe de f'(x) ; on dresse le tableau de variation de f . SOLUTION : 1)Variations de f Le polynôme f est dérivable sur IR . 2 Pour tout réel x , f'(x) =x+ 2x=x(x+ 2) . Étudions le signe de f'(x) : 2 le trinôme x+ 2x s'annule en 0 et en –2 . 2 De plus, le coefficient de x est strictement positif ( a= 1 ). H. Rorthais (Lycée-Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)

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le T ES - programme 2002 - mathématiques–ch.2 - cours Page 5 sur 9 (D’après Nathan –collection Transmath édition 2006) On sait alors, d'après la règle donnant le signe d'un trinôme du second degré, que : f'(x) < 0 (du signe contraire de a ) pour les valeurs de x comprises entre les racines, c'est-à-dire –2 <x< 0 ; et que f'(x) > 0 sur chacun des intervalles ]–;–2[ et ]0 ; +[ ; d'où le signe de f'(x) et le tableau de variations de f :

2)Extrémums Le sens des flèches montre que la fonction f a : 1 un maximum local en –2 ; ce maximum est f(–2) = ; 3 un minimum local en 0 ; ce minimum est f(0) =–1 .

EXERCICES D'APPLICATION 3 3 1 3 Étudiez les variations sur IR de la fonction f:xx–x , et précisez les extrémums locaux.   3

Exercices n°R3-R4 page 64 + T.D. n°1 page 59 + n°4 pages 61-62 + Exercices n°A6 à A10 page 65 + n°36-37 page 68 + n°42-43 page 69 + n°44 à 46 page 70 + n°60 page 73 + n°61 à 64 page 74 + R.O.C. n°6 page 78

D ERIVATION ET THEOREME DE LA VALEUR INTERMEDIAIRE

4.1Dérivation et continuité

Considérons une fonction f sa courbe représentative. On conçoit graphiquement, que si la courbe, et notons f admet une tangente en chacun de ses points, cette courbe peut être tracée de manière continue. Nous admettrons le théorème suivant : T HEOREME 5 Toute fonction dérivable sur I est continue sur I .

Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse, car une fonction peut être continue en un point mais non dérivable (par exemple : xx en 0 ).  

4.2Cas où f'> 0 (ou f'< 0 ) sur ]a;b[

f

On a vu (théorème 3) que si f'> 0 sur ]a;b[ , alors f est strictement croissante sur [a;b] . D'où, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, f prend une fois et une seule toute valeur de l'intervalle [f(a) ;f(b)] . On a un résultat analogue si f'< 0 sur ]a;b[ . T HEOREME 6 Si f'> 0 sur ]a;b[ , ou si f'< 0 sur ]a;b[ , alors f prend une fois et une seule toute valeur comprise entre f(a) et f(b) . Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) , l'équation f(x) =k admet une solution unique sur [a;b] .

4.2.1

Cas particulier où f(a) et f(b) sont de signes contraires

Dans ce cas, le nombre 0 est compris entre f(a) et f(b) . Ainsi, sous les hypothèses du théorème précédent, f prend une fois et une seule la valeur 0 ; ceci signifie que l'équation « f(x) = 0 » admet une solution unique sur [a;b[ .

4.2.2

Cas d'un intervalle non borné

Le théorème précédent s'étend aux cas suivants : Ainsi, par exemple :

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• a=– ;

• b= + ;

• a=– et b= + .

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le T ES - programme 2002 - mathématiques–ch.2 - cours Page 6 sur 9 (D’après Nathan –collection Transmath édition 2006) si f'> 0 sur [1 ; +[ et si f(1) = 5 et limf(x) =l , alors f prend une fois et une seule toute valeur de x+ l'intervalle [5 ;l[ .

Exemple : 2 Si f(x) =x+x , f'(x) = 2x+ 1 . –1–1 Donc f'(x) > 0 sur +] ; [ et f'(x) < 0 sur ]–; [ . 2 2 Sur l'intervalle I = [0 ; 5] , on a f'> 0 ; donc f prend une fois et une seule toute valeur comprise entre f(0) et f(5) , c'est-à-dire toute valeur entre 0 et 30 .

EXERCICES D'APPLICATION 4 3 5 5 Calculez la dérivée de la fonction xx+ 1 et déduisez-en que l'équation x+ 1 = 0 admet une solution   unique sur l'intervalle ]–2 ; 0[ .

Exercice n°R5 page 64 + T.D. n°2 page 60 + Q.C.M. n°3 page 64 + Exercices n°A11 à A13 page 65 + n°15-16 page 66 + n°17 à 23 page 67 + n°38 à 41 page 69 + Q.C.M. n°1-2 page 77 + Vrai-Faux n°3-5 page 78 + R.O.C. n°7 page 78

D ERIVATION D ' UNE FONCTION COMPOSEE

5.1Une nouvelle formule

Le théorème suivant permet de calculer la dérivée d'une fonction xg[u(x)] lorsqu'on sait calculer les dérivées   de g et de u . T HEOREME 7 g est une fonction dérivable sur un intervalle J . u est une fonction dérivable sur un intervalle I tel que, pour tout x de I , u x appartient à J . Alors la fonction f=gu est dérivable sur I , et pour tout x de I : f'(x) =u'(x)g'[u(x)] . 

n n 5.2Dérivation de u avec entier T HEOREME 8 n u est une fonction dérivable sur un intervalle I , et n est un entier. Alors la fonction f=u est dérivable : en tout point de I lorsque n2 , en tout point de I où u ne s’annule pas lorsque n–1. n–l De plus : f'(x) =n u'(x) [u(x)] . n n–1 ( u ) '=nu'u Autrement dit : .

Démonstration : n Pour tout x de I , f(x) = [u(x)] . n On peut donc écrire f(x) =g[u(x)] avec g(y) =y . er n–1 1 cas, n2 : alors la fonction g est dérivable sur : g'(y) =ny . Le théorème 7 permet d'affirmer que f est dérivable sur I et que pour tout x de I: n–1 f'(x) = [u(x)]u'(x) =n[u(x)]u'(x) . e +n–1 2 cas, n–1 : alors la fonction g est dérivable sur IR : g'(y) =ny . Le théorème 7 permet d'affirmer que f est dérivable en tout point de I où u ne s'annule pas, et que : n–1 f'(x) = [u(x)]u'(x) =n[u(x)]u'(x) .

Exemple : –1 1 f est la fonction définie sur ; +I = ] [ par : f(x) = . 3 2 (2x+ 1) –1 –3–3 Pour tout x> , f(x) = (2x= [+ 1) u(x)] avec u(x) = 2x+ 1 . 2 u est dérivable sur I et ne s'annule pas sur I ; donc f est dérivable sur I . –3–1 Pour tout x de I , f'(x)=–3[u(x)]u'(x) .

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