Correction du sujet Métropole juin Exercice I

Description

Correction du sujet Métropole juin 2010 Exercice I 1. Pour tout x ?R, ln(ex)= x donc ln(e?3)=?3. -3 est solution de l'équation ln(ex)=?3 . 2. f (x)= ?2x 3+3x (2x ?1)3 : c'est une fraction rationnelle, donc sa limite à l'infini est celle du quotient de ses termes de plus haut degré : lim x?+∞ f (x)= lim x?+∞ ?2x3 (2x)3 ; or, pour x 6= 0, ?2x3 (2x)3 = ?2x3 8x2 =? 1 4. Par conséquent : lim x?+∞ f (x)=?14 . 3. Soit f (x)= 3lnx ?2x +5. L'équation réduite de la tangente au point d(abscisse a de la courbe C f est : y = f ?(a)(x ?a)+ f (a). a = 1 : f (a)= f (1)= 3. Pour tout x, f ?(x)= 3 x ?2 donc f ?(1)= 1. L'équation de la tangernte est alors : y = 1(x ?1)+3, c'est-à-dire : y = x +2 .

• coût mensuel de fabrication


• x0 ≈


• partie hachurée sur le graphique


• réunion d'événements ioncompatibles


• coût de production mensuel


• gain moyen

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2010
• Nombre de lectures: 69
• Langue: Français

Extrait

CorrectiondusujetMétropolejuin2010
ExerciceI
¡ ¢ ¡ ¢
x ?31. Pourtoutx2R,ln e ?x doncln e ??3.
¡ ¢
x-3estsolutiondel’équationln e ??3 .
3?2x ?3x
2. f(x)? :c’estunefractionrationnelle,doncsalimiteàl’infiniestcelleduquotientdesestermesdeplus
3(2x?1)
hautdegré:
3 3 3?2x ?2x ?2x 1
lim f(x)? lim ;or,pourx6?0, ? ?? .
3 3 2x!?1 x!?1(2x) (2x) 8x 4
1
Parconséquent: lim f(x)?? .
x!?1 4
3. Soit f(x)?3lnx?2x?5.
0L’équationréduitedelatangenteaupointd(abscisse a delacourbeC est: y? f (a)(x?a)?f (a).f
a?1: f(a)? f(1)?3.
30 0Pourtoutx, f (x)? ?2donc f (1)?1.
x
L’équationdelatangernteestalors: y?1(x?1)?3,c’est-à-dire: y?x?2 .
4. SoitX legainalgébriquedujeu.X peutprendrelesvaleurs7,-2et-3.Commeledéestéquilibré,onafacilement:
1 1 1 2 1 3 1
p(X?7)? ;p(X??2)?? ? ? ? etp(X??3)? ? .
6 6 6 6 3 6 2
X 1 1 1
Legainmoyenestl’espérancede X :E(X)? x ?p(X?x )?7? ?(?2)? ?(?3)? ??1.i i
6 3 2i
Legainmoyenest-1 .
ExerciceII(obligatoire)
1. Arbre:
0,9 S
A
0,25 S0,1
0,65 S
B0,4
S0,35
0,8 S0,35 C
S0,2
2. D’aprèslaformuledesprobabilitésconditionnelles,ona:p(A\S)?p (S)?p(A)?0,25?0,9?0,225. p(A\S)?0,225A
3. S?(S\A)[(S\B)[(S\C),quiestuneréuniond’événementsioncompatibles.
Parconséquent:p(S\A)?p(S\B)?p(S\C)?p (S)?p(A)?p (S)?p(B)?p (S)?p(C)(formuledesprobabilitésA B C
totales)
?0,9?0,25?0,65?0,4?0,8?0,35? 0,765 .
p(S\C) 0,8?0,35 56 56
4. Ona:p (C)? ? ? ?0,366. p (C)? ?0,366S S
p(S) 0,765 153 153
ExerciceII(spécialité)
2 2SoitF(x ; y)?x ?2x?y ?4y?6.
1. 120et160correspondentrespectivementàx?1,2et y?1,6.
2 2F(1,2; 1,6)?1,2 ?2?1,2?1,6 ?4?1,6?6?12donclecoûtdeproductionmensuelestde 12000euros .
Page1/??
bbbbbbbbbb2. Premièreméthode(vérification)
2 2 2 2 2 2Pourtousx et y,(x?1) ?(y?2) ?1?x ?2x?1?y ?4y?4?1?x ?2x?y ?4y?6?F(x ; y).
£¡ ¢ ¤ £¡ ¢ ¤
2 2 2 2Deuxièmeméthode:F(x ; y)?x ?2x?y ?4y?6? x ?2x?1 ?1 ? y ?4y?4 ?4 ?6£ ¤ £ ¤
2 2 2 2? (x?1) ?1 ? (y?2) ?4 ?6?(x?1) ?(y?2) ?1.
2 2Lecarréd’unnombreréelestpositif,donc,pourtoutx etpourtout y,(x?2) ?0et(y?2) ?0.
Onendéduit: F(x ; y)?1 avecF(x ; y)?1pourx?1et y?2.
Lecoûtmensuelminimumdefabricationestde10000euros,pour100siègesdeluxeet200siègesde
confortfabriqués.
3. (a) Silafabricationestde250sièges,ona:x?y?2,5donc y?2,5?x .
Lecoûtmensueldeproduction,souscesconditions,estde:
2 2 2 2 2 2 2 2(x?1) ?(y?2) ?1?(x?1) ?(2,5?x?2) ?1?(x?1) ?(0,5?x) ?1?x ?2x?1?0,25?x?x ?1?
22x ?3x?2,25 .
2(b) Onpose f(x)?2x ?3x?2,25.
0f estdérivableet f (x)?4x?3.
30f (x)?0équivautàx? ?0,75.
4
0f (x)?0pour4x?3?0doncpourx?0,75.
Onendéduitletableaudevariationssur[0; 2,5]:
x 0 0,75 2,5
0f (x) ? 0 ?
7.25
@
f(x) @
@R
1,125
Lecoûtmensuel defabricationestminimum pour x?0,75 centaines, c’est-à-dire75 sièges de luxe
fabriquéset y?2,5?0,75?1,75centaine,soit175siègesdeconfortfabriqués.
Lecoûtminimumcorrespondantestalorsde11250euros.
Page2/??ExerciceIII
8,82?6,67PartieA:Observationdesdonnées 2. ?100?32,23.
6,671. Nuagedepoints: Le pourcentage d’augmentation entre 2001 et 2009
estenvironde 32,23% .
3. Soit t le taux moyen annuel d’augmentation entre
2001et2005.
4Onaalors:6,67(1?t) ?8,03donc
8,034(1?t) ? ,quidonne:
3,67
µ ¶1
48,03
1?t? ,d’où:
6,67
1µ ¶
48,03
t? ?1? 4,75% .
6,67
PartieB:estimationparunajustementexponentiel
2
On estime la valeur en 2005+n su SMIC horaire brut à
n8,03?1,024 .
1. 2012correspondàn?7;uneestimationduSMICen
72012seraalors:8,03?1,024 ?9,48.
Ilserade9,48euros.
10n n2. 8,03?1,024 ? 10 équivaut à 1,024 ? d’où :
8,03µ ¶
100n ln(1,024)?ln .
8,03³ ´
10ln1 8,03
Onendéduit:n? ?9,2.
ln(1,024)
Ilfaudraattendre10anspourqueleSMICatteigne
avec cette estimation un montant supérieur à 10
euros,c’est-à-dire2015.
O
0
0 1 2 3 4 5 6 7
ExerciceIV
0,05xLafonctiond’offreestdéfiniepar f(x)?153e etlafonctiondedemandeparg(x)??116ln(x?1)?504.
1. (a) Lafonctionlinéairex7!0,05x estcroissantesurR(lecoefficientdirecteur0„05estpositif);lafonctionexpest
0,05xcroissantesurR,doncparcomposition,lafonctionx7!e estcroissante(lacomposéededeuxfonctions
croissantesestcroissante).Enmultipliantpar153,nombrepositif,onobtientencoreunefonctioncroissante.
f estcroissante
0 0,05x(sinon,oncalcule f (x)?153?0,05e ?0)
(b) Le fonction x 7! x?1 est croissante surR et à valeurs strictement positives sur [0; 35]; la fonction ln est
croissantesur]0;?1[,donc,parcomposition,lafonctionx7!ln(x?1)estcroissantesur[0; 35].
-116estnégatif,donclafonctionx7!?116ln(x?1)estdécroissante,et g estdoncdécroissante.
1 1160(sinon,oncalculeladérivée:g (x)??116? ?? ?0).
x?1 x?1
(c) Graphiquement,ontrouvequelescoordonnéesdeEsontapproximativement: E(9; 240) .
Page3/??
bbbbbbbbb2. L’abscissexdeEestsolutiondel’équation f(x)?g(x),doncdeh(x)?0avech(x)? f(x)?g(x).
(a) h? f ?g? f ?(?g).Comme g estdécroissante sur[0; 35],?g estcroissantesurlemêmeintervalleeth est
croissantesurcetintervalle,commesommededeuxfonctionscroissantes.
(b) ? h estcontinuesur[0;35]commesommmeetcomposéedefonctionscontinues.
? h(0)?153?504??351?0.
? h(35)?792?0
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation h(x)? 0 admet au moins une solution dans
[0;35].Commeh estcroissante,cettesolutionestunique.Onlanotex .0
(c) Àlacalculatrice,ontrouve: x ?8,871 ,à0,001prèsparexcès.0
0,05?8,871(d) y ? f (x )?153e ?2,38,41; y ? 238,41 .0 0 0
(e) Leprixunitaired’équilibreestde238,41euros,pourunequantitédisponiblede8871objets.
0 u3. Pourtrouveruneprimitivede f,onchercheàfaireapparaîtreuneexpressiondutypeu e ,avec
0u(x)?0,05x etu (x)?0,05.
153 1530,05x 0,05x 0 u(x)f(x)?153e ? ?0,05e ? u (x)e .
0,05 0,05
153 0,05x 0,05xOnendéduitqu’uneprimitiveF de f estdéfiniepar:F(x)? e : F(x)?3060e .
0,05Zx0
4. LesurplusestS?x ?y ? f(x)dx.0 0
0
x ?y représentel’airedurectangleconstruitsurl’intervalle[0; x ]etdehauteury (ordonnéedeE).0 0 0 0
Lesurplusestdoncl’airecompriseentreladroited’équation y?y ,lacourbeC etlesdroitesd’équationx?0et0 f
x?x (voirpartiehachuréesurlegraphiqueci-dessous).0Zx0 ¡ ¢
x x0 0f(x)dx?F(x )?F(0)?3060e ?3060?3060 e ?1 .0
0 ¡ ¢
x0Parconséquent:S?x y ?3060 e ?1 ? 406,7 .0 0
Courbedel’exerciceIVy
800
700
600
500
400
300
y0
E
200
100
x xO 010 20 30
Page4/??