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1 Exercice 1 BTS 2015SIOépreuveE2 par Vincent Douce Mathématiques 1)voicileniveaude chacundessommets,cestàdirelalongueurducheminle plus longqui aboutit à chacunde ces sommets: A 0 B 1 C 2 D 2 E 3 F 3 G 4 H 5

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Ajouté le : 01 juin 2015
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1

Exercice 1

BTS

2015SIOépreuveE2

par Vincent Douce
Mathématiques

1)voicileniveaude chacundessommets,cestàdirelalongueurducheminle plus longqui aboutit
à chacunde ces sommets:
A 0
B 1
C 2
D 2
E 3
F 3
G 4
H 5
2)Voiciletableaudessuccesseurs :
A B
B C,D
C F,G
D E,F
E G
F H
G H
H−
3)GrapheMPM: figure

Figure 1.
en noir :niveaude chaque élément
entouré : tempsderéalisation
en vert : dateminde début

en rouge:date maxdefin

1

chemin critique ABDEGH, temps 12 jours.
4) Non, il y a un proclème au jour 5 :

jours
tâches
personnel

1
A
2

2
A
2

3
B
2

4
B
2

5
C D
4

Une solution consiste à décaler C et F de 1 jour :

jours
tâches
personnel

1
A
2

2
A
2

3
B
2

et alors le nombre de jours est le même.

2

Exercice 2

1) la variable booléenne :

4
B
2

5
D
3

6
D
3

6
D
3

7
D
3

7
D
3

8
D
3

8
D
3

9
F E
3

9
C E
3

10
F G
3

10
F G
3

11
G
2

11
F G
3

12
H
2

12
H
2

(b= 1∧c= 1)∨(b= 0∧a= 1∧c= 1)∨(a= 0∧c= 1)∨(c= 0∧a= 1).

2) on factorise :

(b= 1∧c= 1)∨(b= 0∧a= 1∧c= 1)∨(a= 0∧c= 1) = (b= 1∨(b= 0∧a= 1)∨a= 0)∧(c= 1)

donc la condition sécrit comme la somme suivante :

soit :

soit :

(b= 1∨(b= 0∧a= 1)∨a= 0)∧(c= 1)OU(c= 0∧a= 1)

(c= 1)OU(c= 0∧a= 1),

c= 1OUa= 1

jai marqué OU au lieu de∨pour alléger la notation.
3) On ab= 0mais en faitbest indiff:érent, finalement. Donc si le candidat nest pas retenu cest que
c= 0eta= 0.

3

Exercice 3

A) pour coder SI il faut calculer dabord le produit :
! "! " ! "
4 118 80
=
3 2 870

puis la congruence modulo 26 :

Donc SI est codé en CS.

! " ! "
802
≡(mod 26)
70 18

2

B)
1) 21≡ −5(mod 26)donc5×21≡ −25(mod 26)≡1(mod 26).

On peut aussi calculer5×21 et faire la division euclidienne par 26...
2) a) On trouveB A= 5I.
b) SiA X=Ualors, en multipliant à gauche par B de chaque côté de légalité, on obtient :
B A X=B U⇔5X=B U.
! "
u
C) Avec B)2), on a5X=Bon effectue le produit :
v
! " ! "
u2u−v
B=
v−3u+ 4v

donc :

! "
2u−v
5X=
−3u+ 4v

On sait queu≡1etv≡4(mod 26)et on remplace :
! " ! "
5x−2
≡(mod 26)
5y13

2) Il reste maintenant à diviser par 5.
Daprès B1), la 1 divisé par 5 donne 21 modulo 26
donc 2 divisé par 5 donne−2×42 et on congrue :−42≡10(mod 26)

et de même 13 divisé par 5 donne 13×21 qui, congru à 26, donne13.
Ainsi,
! " ! "
x10
=,
y13

ce qui correspond au mot IL.

3

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