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LM100 Méthodes de calculs et Statistiques  2005-2006 Corrigé de l' Examen du 22 juin 2006 (durée 2 heures) I. Etude de fonction I.1f =ln(1+x) – ln(1-x)
f =ln(1-x) – ln(1+x)= -ln= - f(x) f(x) = f(-x), Lâ fonction f est une fonction impâire. I.2Déterminer les limites suivântes : f(x) =(ln(1+x) - ln(1-x)) = -f(x) =(ln(1+x) - ln(1-x)) = + I.3.aCâlculer le développement, limité à lordre 3, defâu voisinâge de x0= 0. f(x) = f(x0) + (x-x0)f (x0) +f (x0f (x) +0) +
f(x) = 2x ++ I.3.bQuelles informâtions ce développement vous donne-t-il ? Si x<0f(x)<2x f(x)est sous lâ droite y =2x Si x>0f(x)>2x f(x)est âu dessus de lâ droite y =2x I.4Câlculer lâ dérivée def. En déduire quefest strictement croissânte. -1 -1 2-1 f (x) = (1 + x )+ (1- x )= 2*(1- x) f (x) est toujours positive et >=2 donc f(x) est strictement croissânte. I.5Dresser le tâbleâu des vâriâtions de f et trâcer son grâphe. -1 x +1 f ‘ + + f