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X-ENS PSI 2007 uncorrig´e Premie`repartie. 1.1. f : x 7→ ln(1 + x ) est de classe C sur ] 1 , + [etonmontreparre´currenceque k N , f ( k ) : x 7→ ( k (11)+!( x )1 k ) k 1 f ´etantid´enimentd´erivableen0,onpeutappliquerlaformuledeTayloravecresteint´egrale`a tout ordre au voisinage de 0 pour obtenir (compte-tenu de f (0) = 0) x ] 1 , + [ , ln(1 + x ) = kn X =1 ( 1 k ) k 1 + Z 0 x ( x n ! t ) n (1 n !(+ t )1 n ) + n 1 dt En appliquant ceci en x = 1, on a donc n ln(2) X ( 1 n ) k 1 Z 01 (1(1+ t ) t n ) + n 1 dt Z 01 (1 t ) n dt = n 1+1 k =1 On a donc + X ( 1) k 1 ln(2) = k = ζ a (1) k =1 1.2. Soit ε > 0donne´.Soit n 0 = E (1 ) ; on a n 0 1 ε 1 et donc n +11 ε .Lin´egalit´epr´ece´dente donne alors n X 0 ( 1 n ) k 1 ε ln(2) k =1 Lecalculdelasommedumembredegauchedonneunevaleurapproche´edeln(2)`a ε pr`es. 1.3. La fonction x 7→ 1 e´tantd´ecroissantesur R + o x , n a k 1 , x [ k, k + 1] ,k +11 1 x 1 k Eninte´grantcesine´galit´espuisensommantlesr´esultatsobtenus,ilvient n dx n 1 , k = n X 1 k +11 Z 1 x k X n 1 1 k = Onend´eduitque n 1 , 0 k X n =1 1 k ln( n ) 1 n 1+1 1 1.4. Onformeladie´rence u n +1 u n = n 1+1+ln nn + 1 = n 1+1+ln 1 n 1+1 Or,parconcavit´edelnsur R + , on a u > 1 , ln(1 + u ) u Onend´eduit(avec u = 1 /n + 1) que n N , u n +1 u n 0 La suite ( u n )estdecroissanteetminore´e(par0).Elleestdoncconvergente. 1