Cours sur le produit vectoriel, le produit mixte et le produit scalaire

Description

Produit scalaire. Produit vectoriel. Produit mixte. I Produit scalaire Définition : a) Soient jyixu ??? += et jyixu ??? ?+?=? deux vecteurs de 2R . On appelle produit scalaire l'application qui a un couple de vecteur ( )uu ??, associe le réel uu ?? ?? Où yyxxuu ?+?=?? ?? b) Soient kzjyixu ???? ++= et kzjyixu ???? ?+?+?=? deux vecteurs de 3R . On appelle produit scalaire l'application qui a un couple de vecteur ( )uu ??, associe le réel uu ?? ?? Où zzyyxxuu ?+?+?=?? ?? Définition : Soit kzjyixu ???? ++= On appelle norme de u? le réel 222 zyxu ++=? On a la même définition pour un vecteur de 2R . Remarque : Soit kzjyixu ???? ++= , uuu ??? ?= 2 . On a la même remarque pour un vecteur de 2R . Théorème : Pour tout vecteur u ? , v ? et w ? , pour tout réel ? et µ . a) uvvu ???? ?=? b) ( ) wvvuwvu ??????? ?+?=?+ µ?µ? c) 02 ≥?= uuu ??? d) 002 =?=?= uuuu ???? Définition : On dit que deux vecteurs u? et v? sont orthogonaux si 0=?vu ?? Théorème : Soient u? et v? deux vecteurs.

• ???? ?


• ??? ?


• u?


• couple de vecteur


• produit mixte


• ??


• réel uu


• ????

Sujets

• Qaf (sura)
• Produit mixte

Informations

• Publié par: profil-urra-2012
• Nombre de lectures: 103
• Langue: Français

Extrait

Produit scalaire. Produit vectoriel. Produit mixte.

I Produit scalaire

Définition :

a) Soient

j

y

i

x

u







+

=

et

j

y

i

x

u







′

+

′

=

′

deux vecteurs de

2

R

.

On appelle produit scalaire l’application qui a un couple de vecteur

(

29

u

u

′



,

associe le

réel

u

u

′

⋅





Où

y

y

x

x

u

u

′

+

′

=

′

⋅





b) Soient

k

z

j

y

i

x

u









+

+

=

et

k

z

j

y

i

x

u









′

+

′

+

′

=

′

deux vecteurs de

3

R

.

On appelle produit scalaire l’application qui a un couple de vecteur

(

29

u

u

′



,

associe le

réel

u

u

′

⋅





Où

z

z

y

y

x

x

u

u

′

+

′

+

′

=

′

⋅





Définition :

Soit

k

z

j

y

i

x

u









+

+

=

On appelle norme de

u



le réel

2

2

2

z

y

x

u

+

+

=



On a la même définition pour un vecteur de

2

R

.

Remarque :

Soit

k

z

j

y

i

x

u









+

+

=

,

u

u

u







⋅

=

2

.

On a la même remarque pour un vecteur de

2

R

.

Théorème :

Pour tout vecteur

u



,

v



et

w



, pour tout réel

λ

et

μ

.

a)

u

v

v

u









⋅

=

⋅

b)

(

29

w

v

v

u

w

v

u















⋅

+

⋅

=

⋅

+

μ

λ

μ

λ

c)

0

2

≥

⋅

=

u

u

u







d)

0

0

2

=

⇔

=

⋅

=

u

u

u

u









Définition :

On dit que deux vecteurs

u



et

v



sont orthogonaux si

0

=

⋅

v

u





Théorème :

Soient

u



et

v



deux vecteurs.

Si on appelle

α

angle

(

29

v

u





,

, alors

(

29

α

cos

v

u

v

u









=

⋅

II Déterminant de deux vecteurs de

2

R

.

Dans ce paragraphe, tous les vecteurs sont dans

2

R

.

Définition :

Soient

j

y

i

x

u







+

=

et

j

y

i

x

u







′

+

′

=

′

deux vecteurs.

On appelle déterminant de

u



et

u

′



le réel :

(

29

y

x

y

x

y

y

x

x

u

u

dét

′

-

′

=

′

′

=

′





,

Théorème :