Algèbre linéaire : rappels et compléments

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• cours - matière : algèbre

Maths MP Cours Algèbre linéaire : rappels et compléments Table des matières 1 Espaces vectoriels, applications linéaires 2 1.1 Rappels sur les (sous-)espaces, bases... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Rappels sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . .

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• définition précédente
• application linéaire répondant au cahier des charges
• argument de famille
• applications linéaires
• application linéaire
• dimension finie
• famille
• familles
• image
• images
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• bases
• espaces
• espace

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• Algèbre
• Linéaire
• Application
• Famille
• Argument
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• Espace
• Dimensión

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Maths MP Cours
Algèbre linéaire : rappels et compléments
Table des matières
1 Espaces vectoriels, applications linéaires 2
1.1 Rappels sur les (sous-)espaces, bases... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Rappels sur les linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Interpolation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Aspects dimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Noyaux et images itérés, endomorphismes nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Sommes directes (au delà de deux sous-espaces...) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Le théorème du rang revisité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Polynômes 12
2.1 Rappels surK[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Idéaux deK[X], arithmétique élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Factorisation en produit d’irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Calcul matriciel 20
3.1 Rappels de première année . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Autour du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Diverses choses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Déterminants 26
4.1 Micro-théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 In real life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Comatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Hyperplans, dualité 29
5.1 Formes linéaires, hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Bases (ante)duales, orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1Avant de reprendre la théorie de première année et la compléter, quelques mots sur le pivot de
Gauss, qui est l’outil effectif principal en algèbre linéaire. Il est omniprésent dans les différents calculs
que vous devez savoir faire :
– Pourrésoudreunsystèmelinéaire,onpivote(àtitreexceptionnel,leschampionsdesCramerisations
sont autorisés à opérer en dimension 2, pour peu qu’ils ne fassent pas n’importe quoi...) : c’est
quasiment le seul moment en mathématiques où travailler par équivalence est pertinent, possible
et facile. Plus on veut finasser et «gagner du temps» avec je ne sais quelles astuces, et plus on
perd du temps et on se trompe. C’est ainsi. Accessoirement, le pivot vous assure une description
du sous-espace affine des solutions à l’aide d’une base, et sa pratique fait comprendre des aspects
plus théoriques en dualité. 0 1
..T . MB C
B C– Pourcalculerunrang,onpivotesurleslignesjusqu’àarriveràunematricedelaforme ::::::::::::::::::: ,@ A
..0 . 0n r;r n r;p r
avec T2M (K) triangulaire à coefficients diagonaux non nuls : le rang est alors r.r
– Pour calculer un déterminant, on fait des opérations sur les lignes et colonnes, on développe selon
une ligne ou colonne, etc : c’est en partie du pivot!
– Pour inverser une matrice, on peut selon contexte : calculer une matrice de passage inverse (c’est
du pivot) ou résoudre formellement AX =Y (c’est du pivot) ou encore travailler formellement sur
1une matrice initialement égale à I , qui se transforme miraculeusement en A si on réalise surn
elle les opérations conduisant A à I : encore du pivot.n
– Pour calculer P et Q telles que PAQ =J , il est conseillée de raisonner géométriquement... maisr
les experts peuvent pivoter formellement pour obtenir le résultat.
– Pour extraire d’une famille une base de l’espace engendré, et la compléter en une base de l’espace
ambiant... on représente les vecteurs en question dans une base qui ne bougera pas, et on pivote
sur les colonnes...
1 Espaces vectoriels, applications linéaires
1.1 Rappels sur les (sous-)espaces, bases...
Définition 1 — Espaces; sous-espaces; combinaisons linéaires
SoitK un corps.
– UnK-espace vectoriel est un ensemble muni d’une loi de composition interne + et d’une
loi de composition externeKE!E telles que (E; +) est un groupe commutatif, de neutre
!
noté 0 , «la loi et la loi interne se comportant honorablement l’une vis-à-vis deE
l’autre».
! !– Une combinaison linéaire d’éléments de E est un vecteur de la forme x + + x ,1 1 n n
!avec les dansK («scalaires») et les x dans E («vecteurs»).i i
– Un sous-espace vectoriel d’un espace E est une partie non vide stable par combinaisons
linéaires.
Exemples 1
n n– K est unK-espace vectoriel. On peut voirC comme unC-espace vectoriel mais aussi unR-espace
vectoriel.
– K [X] est un sous-espace vectoriel deK[X].n
1 1 1– C (I) est un deC (I), qui est lui-même un sous-espace deD (I), qui est lui-même...
– L’ensembleS (K) des matrices (n;n) symétriques constitue un sous-espace deM (K).n n
–ble des suites complexes vérifiant la relationf =f +f est un sous-espace de l’espacen+2 n n+1
NC des suites complexes.
– Siu2L(E), l’ensemble des endomorphismes de E commutant avec u est un sous-espace deL(E).
– Six ;:::;x 2E, l’ensemble des combinaisons linéaires desx est un sous-espace deE. C’est même1 n i
le plus petit sous-espace de E contenant les x : on parle de sous-espace engendré par les x ,i i
et la définition reste la même pour une famille infinie (x ) .i i2I
26
Remarques 1
– Si F est un sous-espace de E, il hérite naturellement de la structure d’espace vectoriel (et partage
le même neutre pour l’addition).
– Les sous-espaces sont souvent présentés sous forme duale : ils peuvent être vus comme des noyaux,
ou comme des ensembles de combinaisons linéaires. Passer d’une représentation à l’autre fait partie
des activités de base en algèbre linéaire :
3f(x;y;z)2R ; x +y +z = 0g =f( ;;)j;2Rg:
– Lescombinaisonslinéairessonttoujoursdessommesfinies.Mêmequandonparled’unecombinaison
linéaire d’un ensemble infini de vecteurs.
Définition 2 — Familles libres, génératrices
!Une famille (v ) de vecteurs de E est :i i2I
! !– génératrice lorsque tout vecteur f de E est combinaison linéaire des v (i.e. : il existei
! ! !
;:::; 2K, i ;:::;i 2I tels que f = v + + v ).1 n 1 n 1 i n i1 n
!– libre, ou linéairement indépendante, lorsque la seule combinaison linéaire nulle des vi
!! !est la combinaison linéaire triviale. Autrement dit : si v + + v = 0 , alors tous les1 i n i1 n
sont nuls. Dans le cas contraire (existence d’une combinaison linéaire nulle et non triviale),i
on dit que la famille est liée (implicitement : «liée par une relation de dépendance linéaire»).
– une base si elle est libre et génératrice.
Remarques 2
– On montre facilement qu’une famille est une base si et seulement si elle est libre et génératrice (le
faire tout de même : il y a une équivalence à prouver!)
– DanslecasoùI =f1; 2;:::;ng,cesnotionspeuventsereformulerentermesdesurjectivité/injectivité
n K ! E